Номер 11.58, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.58, страница 70.

11.58. a) $y = |2^x + 1| + |1 - 2^x|$;

б) $y = |0,5^x + 1| - |1 - 0,5^x|$.

а)

Рассмотрим функцию $y = |2^x + 1| + |1 - 2^x|$.

Для того чтобы раскрыть модули, нужно проанализировать знаки выражений внутри них.

1. Выражение $2^x + 1$. Поскольку показательная функция $2^x$ всегда принимает положительные значения ($2^x > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$), то и сумма $2^x + 1$ всегда будет больше нуля. Следовательно, $|2^x + 1| = 2^x + 1$ для всех $x$.

2. Выражение $1 - 2^x$. Знак этого выражения зависит от значения $x$. Найдем точку, в которой выражение обращается в ноль: $1 - 2^x = 0 \implies 2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$. Эта точка делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty, 0]$ и $(0, +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x \le 0$. В этом случае $2^x \le 2^0$, то есть $2^x \le 1$. Значит, выражение $1 - 2^x \ge 0$. Следовательно, $|1 - 2^x| = 1 - 2^x$. Функция принимает вид: $y = (2^x + 1) + (1 - 2^x) = 2^x + 1 + 1 - 2^x = 2$. Итак, при $x \le 0$, $y=2$.

Случай 2: $x > 0$. В этом случае $2^x > 2^0$, то есть $2^x > 1$. Значит, выражение $1 - 2^x < 0$. Следовательно, $|1 - 2^x| = -(1 - 2^x) = 2^x - 1$. Функция принимает вид: $y = (2^x + 1) + (2^x - 1) = 2^x + 1 + 2^x - 1 = 2 \cdot 2^x = 2^{x+1}$. Итак, при $x > 0$, $y=2^{x+1}$.

Объединяя оба случая, получаем итоговую кусочно-заданную функцию:

Ответ: $y = \begin{cases} 2, & \text{если } x \le 0 \\ 2^{x+1}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

б)

Рассмотрим функцию $y = |0,5^x + 1| - |1 - 0,5^x|$.

Аналогично предыдущему пункту, проанализируем выражения под модулями.

1. Выражение $0,5^x + 1$. Так как $0,5^x > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$, то $0,5^x + 1 > 0$. Следовательно, $|0,5^x + 1| = 0,5^x + 1$ для всех $x$.

2. Выражение $1 - 0,5^x$. Найдем точку, в которой выражение равно нулю: $1 - 0,5^x = 0 \implies 0,5^x = 1 \implies 0,5^x = 0,5^0 \implies x = 0$. Эта точка делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty, 0)$ и $[0, +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x < 0$. Поскольку функция $g(x) = 0,5^x$ является убывающей (основание $0,5 \in (0, 1)$), то при $x < 0$ имеем $0,5^x > 0,5^0$, то есть $0,5^x > 1$. Значит, выражение $1 - 0,5^x < 0$. Следовательно, $|1 - 0,5^x| = -(1 - 0,5^x) = 0,5^x - 1$. Функция принимает вид: $y = (0,5^x + 1) - (0,5^x - 1) = 0,5^x + 1 - 0,5^x + 1 = 2$. Итак, при $x < 0$, $y=2$.

Случай 2: $x \ge 0$. В этом случае $0,5^x \le 0,5^0$, то есть $0,5^x \le 1$. Значит, выражение $1 - 0,5^x \ge 0$. Следовательно, $|1 - 0,5^x| = 1 - 0,5^x$. Функция принимает вид: $y = (0,5^x + 1) - (1 - 0,5^x) = 0,5^x + 1 - 1 + 0,5^x = 2 \cdot 0,5^x = 2 \cdot (2^{-1})^x = 2 \cdot 2^{-x} = 2^{1-x}$. Итак, при $x \ge 0$, $y=2^{1-x}$.

Объединяя оба случая, получаем итоговую кусочно-заданную функцию:

Ответ: $y = \begin{cases} 2, & \text{если } x < 0 \\ 2^{1-x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$