Страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Какие из перечисленных ниже степенных функций убывают, какие — возрастают, а какие не являются монотонными:

$y = x^{\frac{2}{3}}$, $y = x^{\frac{3}{2}}$, $y = x^{-0.6}$, $y = x^{11}$, $y = x^{-11}$, $y = x^{-\frac{16}{7}}$?

Для определения монотонности степенной функции $y = x^p$ необходимо проанализировать ее показатель степени $p$ и область определения. Монотонность функции определяется знаком ее производной $y' = p \cdot x^{p-1}$.

• Если $y' > 0$ на всей области определения, функция возрастает.
• Если $y' < 0$ на всей области определения, функция убывает.
• Если производная меняет знак на области определения, функция не является монотонной.

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Показатель степени $p = \frac{2}{3} > 0$. Так как знаменатель показателя (3) — нечетное число, область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Найдем производную: $y' = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.
Проанализируем знак производной:

• При $x > 0$, $\sqrt[3]{x} > 0$, следовательно, $y' > 0$. Функция возрастает на интервале $(0; +\infty)$.
• При $x < 0$, $\sqrt[3]{x} < 0$, следовательно, $y' < 0$. Функция убывает на интервале $(-\infty; 0)$.

Так как на разных частях области определения функция ведет себя по-разному (убывает, а затем возрастает), она не является монотонной.

Ответ: не является монотонной.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

Показатель степени $p = \frac{3}{2} > 0$. Так как знаменатель показателя (2) — четное число, функция определена только для неотрицательных значений аргумента: $D(y) = [0; +\infty)$.
Найдем производную: $y' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.
На всей области определения $[0; +\infty)$ имеем $\sqrt{x} \ge 0$, поэтому $y' \ge 0$. Производная равна нулю только в точке $x=0$.
Следовательно, функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: возрастает.

$y = x^{-0.6}$

Представим показатель в виде обыкновенной дроби: $p = -0.6 = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$. Показатель отрицательный. Так как знаменатель (5) — нечетное число, область определения — все действительные числа, кроме нуля: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Найдем производную: $y' = -0.6x^{-0.6-1} = -0.6x^{-1.6} = -\frac{0.6}{x^{1.6}} = -\frac{0.6}{x^{8/5}} = -\frac{0.6}{(\sqrt[5]{x})^8}$.
Знаменатель $(\sqrt[5]{x})^8$ всегда положителен при $x \neq 0$, так как любое ненулевое число в четной степени положительно.
Коэффициент $-0.6$ отрицателен, значит, $y' < 0$ на всей области определения.
Это означает, что функция убывает на каждом из интервалов $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Однако, чтобы быть монотонной на всей области определения, свойство убывания должно сохраняться для любых двух точек. Возьмем $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Имеем $x_1 < x_2$.
$y(-1) = (-1)^{-3/5} = (\sqrt[5]{-1})^ {-3} = (-1)^{-3} = -1$.
$y(1) = 1^{-3/5} = 1$.
Получаем, что $y(x_1) < y(x_2)$, что противоречит определению убывающей функции. Следовательно, функция не является монотонной.

Ответ: не является монотонной.

$y = x^{11}$

Показатель степени $p = 11$ — положительное нечетное целое число. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Найдем производную: $y' = 11x^{10}$.
Так как $x^{10} \ge 0$ для любого действительного $x$, а $11 > 0$, то производная $y' \ge 0$ на всей области определения. $y'=0$ только в точке $x=0$.
Следовательно, функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: возрастает.

$y = x^{-11}$

Показатель степени $p = -11$ — отрицательное нечетное целое число. Область определения — все действительные числа, кроме нуля: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Найдем производную: $y' = -11x^{-11-1} = -11x^{-12} = -\frac{11}{x^{12}}$.
Знаменатель $x^{12}$ всегда положителен при $x \neq 0$. Коэффициент $-11$ отрицателен. Значит, $y' < 0$ на всей области определения.
Как и в случае с $y = x^{-0.6}$, функция убывает на каждом из интервалов $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, но не является монотонной на их объединении. Возьмем $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.
$y(-1) = (-1)^{-11} = -1$.
$y(1) = 1^{-11} = 1$.
$x_1 < x_2$, но $y(x_1) < y(x_2)$. Функция не является монотонной.

Ответ: не является монотонной.

$y = x^{-2\frac{2}{7}}$

Переведем показатель в неправильную дробь: $p = -2\frac{2}{7} = -\frac{16}{7}$. Показатель отрицательный. Так как знаменатель (7) — нечетное число, область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Найдем производную: $y' = -\frac{16}{7}x^{-\frac{16}{7}-1} = -\frac{16}{7}x^{-\frac{23}{7}} = -\frac{16}{7\sqrt[7]{x^{23}}}$.
Проанализируем знак производной:

• При $x > 0$, $\sqrt[7]{x^{23}} > 0$, следовательно, $y' < 0$. Функция убывает на интервале $(0; +\infty)$.
• При $x < 0$, $\sqrt[7]{x^{23}} < 0$, следовательно, $y' > 0$. Функция возрастает на интервале $(-\infty; 0)$.

Так как на одной части области определения функция возрастает, а на другой убывает, она не является монотонной.

Ответ: не является монотонной.

Итоговая классификация функций:

Возрастают: $y = x^{\frac{3}{2}}$, $y = x^{11}$.

Убывают: таких функций среди перечисленных нет.

Не являются монотонными: $y = x^{\frac{2}{3}}$, $y = x^{-0.6}$, $y = x^{-11}$, $y = x^{-2\frac{2}{7}}$.

Постройте график функции:

11.56. a) $y = 2^{|x|}$;

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{|x-1|}$;

в) $y = 4^{|x|}$;

г) $y = 0,2^{|x+2|}$.

а) $y = 2^{|x|}$

Для построения графика функции $y = f(|x|)$ необходимо сначала построить график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$, а затем отразить полученную часть графика симметрично относительно оси ординат (оси Oy).

1. Построим график функции $y = 2^x$ для $x \ge 0$. Это ветвь стандартной показательной функции с основанием больше 1. График проходит через следующие точки:

• при $x=0$, $y=2^0=1$, точка $(0, 1)$;
• при $x=1$, $y=2^1=2$, точка $(1, 2)$;
• при $x=2$, $y=2^2=4$, точка $(2, 4)$.

2. Отразим эту часть графика симметрично относительно оси Oy. Полученная кривая будет графиком функции $y = 2^{-x} = (\frac{1}{2})^x$ при $x < 0$. Например:

• при $x=-1$, $y=2^{|-1|}=2^1=2$, точка $(-1, 2)$;
• при $x=-2$, $y=2^{|-2|}=2^2=4$, точка $(-2, 4)$.

Функция является четной, так как $y(-x) = 2^{|-x|} = 2^{|x|} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат.

Ответ: График функции $y = 2^{|x|}$ состоит из двух частей, симметричных относительно оси Oy. Для $x \ge 0$ это график функции $y = 2^x$, а для $x < 0$ это график функции $y = 2^{-x}$. Точка $(0, 1)$ является точкой минимума.

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{|x-1|}$

График функции $y = f(|x-a|)$ можно получить, сдвинув график функции $y = f(|x|)$ на $a$ единиц вдоль оси Ox. В данном случае $a=1$. Однако, проще построить график, раскрыв модуль.

Раскроем модуль $|x-1|$:

$|x-1| = \begin{cases} x-1, & \text{если } x-1 \ge 0 \implies x \ge 1 \\ -(x-1), & \text{если } x-1 < 0 \implies x < 1 \end{cases}$

Таким образом, функция задается кусочно:

$y = \begin{cases} (\frac{1}{3})^{x-1}, & \text{если } x \ge 1 \\ (\frac{1}{3})^{-(x-1)} = 3^{x-1}, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

1. Для $x \ge 1$ строим график функции $y = (\frac{1}{3})^{x-1}$. Это график функции $y = (\frac{1}{3})^x$, сдвинутый на 1 единицу вправо. Это убывающая показательная функция. Ключевые точки:

• при $x=1$, $y=(\frac{1}{3})^{1-1}=1$, точка $(1, 1)$;
• при $x=2$, $y=(\frac{1}{3})^{2-1}=\frac{1}{3}$, точка $(2, \frac{1}{3})$.

2. Для $x < 1$ строим график функции $y = 3^{x-1}$. Это график функции $y = 3^x$, сдвинутый на 1 единицу вправо. Это возрастающая показательная функция. Ключевые точки:

• при $x=0$, $y=3^{0-1}=\frac{1}{3}$, точка $(0, \frac{1}{3})$;
• при $x=-1$, $y=3^{-1-1}=3^{-2}=\frac{1}{9}$, точка $(-1, \frac{1}{9})$.

График симметричен относительно вертикальной прямой $x=1$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, сходящихся в точке $(1, 1)$, которая является точкой максимума. Для $x \ge 1$ это график убывающей функции $y = (\frac{1}{3})^{x-1}$, а для $x < 1$ это график возрастающей функции $y = 3^{x-1}$. График симметричен относительно прямой $x=1$.

в) $y = 4^{|x|}$

Построение аналогично пункту а). Используем правило для построения графика функции $y = f(|x|)$.

1. Построим график функции $y = 4^x$ для $x \ge 0$. Это возрастающая показательная функция, которая растет быстрее, чем $y=2^x$. Ключевые точки:

• при $x=0$, $y=4^0=1$, точка $(0, 1)$;
• при $x=1$, $y=4^1=4$, точка $(1, 4)$;
• при $x=0.5$, $y=4^{0.5}=\sqrt{4}=2$, точка $(0.5, 2)$.

2. Отразим эту часть графика симметрично относительно оси Oy. Для $x < 0$ получим график функции $y = 4^{-x} = (\frac{1}{4})^x$. Ключевые точки:

• при $x=-1$, $y=4^{|-1|}=4^1=4$, точка $(-1, 4)$;
• при $x=-0.5$, $y=4^{|-0.5|}=4^{0.5}=2$, точка $(-0.5, 2)$.

Функция четная, график симметричен относительно оси Oy.

Ответ: График функции $y = 4^{|x|}$ симметричен относительно оси Oy. Он состоит из графика $y = 4^x$ при $x \ge 0$ и графика $y = 4^{-x}$ при $x < 0$. Точка $(0, 1)$ является точкой минимума.

г) $y = 0.2^{|x+2|}$

Построение аналогично пункту б). Раскроем модуль $|x+2|$, точка "перелома" - $x=-2$.

$|x+2| = \begin{cases} x+2, & \text{если } x+2 \ge 0 \implies x \ge -2 \\ -(x+2), & \text{если } x+2 < 0 \implies x < -2 \end{cases}$

Учитывая, что $0.2 = \frac{1}{5}$, функция задается кусочно:

$y = \begin{cases} (0.2)^{x+2}, & \text{если } x \ge -2 \\ (0.2)^{-(x+2)} = (\frac{1}{5})^{-(x+2)} = 5^{x+2}, & \text{если } x < -2 \end{cases}$

1. Для $x \ge -2$ строим график функции $y = 0.2^{x+2}$. Это график функции $y = 0.2^x$, сдвинутый на 2 единицы влево. Так как основание $0.2 < 1$, функция убывающая. Ключевые точки:

• при $x=-2$, $y=0.2^{-2+2}=0.2^0=1$, точка $(-2, 1)$;
• при $x=-1$, $y=0.2^{-1+2}=0.2^1=0.2$, точка $(-1, 0.2)$;
• при $x=0$, $y=0.2^{0+2}=0.2^2=0.04$, точка $(0, 0.04)$.

2. Для $x < -2$ строим график функции $y = 5^{x+2}$. Это график функции $y = 5^x$, сдвинутый на 2 единицы влево. Так как основание $5 > 1$, функция возрастающая. Ключевые точки:

• при $x=-3$, $y=5^{-3+2}=5^{-1}=0.2$, точка $(-3, 0.2)$;
• при $x=-4$, $y=5^{-4+2}=5^{-2}=0.04$, точка $(-4, 0.04)$.

График симметричен относительно вертикальной прямой $x=-2$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно прямой $x=-2$. Точка $(-2, 1)$ является точкой максимума. Для $x \ge -2$ это график убывающей функции $y = 0.2^{x+2}$, а для $x < -2$ это график возрастающей функции $y = 5^{x+2}$.

11.57. a) $y = |2^x - 4|;$

б) $y = |9 - 3x|.$

а) $y = |2^x - 4|$

Для построения графика функции $y = |2^x - 4|$ воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Сначала построим график вспомогательной функции $y_1 = 2^x - 4$. Этот график получается из графика показательной функции $y = 2^x$ сдвигом вниз по оси ординат на 4 единицы.

• Область определения функции $y_1 = 2^x - 4$ — все действительные числа, $D(y_1) = (-\infty; +\infty)$.
• Горизонтальная асимптота графика $y = 2^x$ — это ось абсцисс ($y=0$). При сдвиге вниз на 4 единицы асимптота также смещается и становится $y = -4$.
• Найдем точки пересечения с осями координат:
  • Пересечение с осью OY: $x=0$, $y_1 = 2^0 - 4 = 1 - 4 = -3$. Точка $(0, -3)$.
  • Пересечение с осью OX: $y_1=0$, $2^x - 4 = 0$, $2^x = 4$, $x=2$. Точка $(2, 0)$.
• Функция $y_1 = 2^x - 4$ возрастает на всей области определения.

2. Теперь построим график функции $y = |2^x - 4|$. По определению модуля, $y = |f(x)|$ означает, что та часть графика $y=f(x)$, которая находится над осью OX или на ней ($y \ge 0$), остается без изменений, а та часть, которая находится под осью OX ($y < 0$), симметрично отражается относительно оси OX.

Исходя из анализа функции $y_1 = 2^x - 4$, мы знаем, что:

• $y_1 \ge 0$ при $2^x - 4 \ge 0$, то есть при $x \ge 2$. На этом промежутке график $y = |2^x - 4|$ совпадает с графиком $y_1 = 2^x - 4$.
• $y_1 < 0$ при $2^x - 4 < 0$, то есть при $x < 2$. На этом промежутке график $y = |2^x - 4|$ получается отражением графика $y_1 = 2^x - 4$ относительно оси OX. То есть, на этом промежутке $y = -(2^x - 4) = 4 - 2^x$.

Таким образом, функция может быть записана в виде:

$y = \begin{cases} 2^x - 4, & \text{если } x \ge 2 \\ 4 - 2^x, & \text{если } x < 2 \end{cases}$

Итоговый график будет иметь следующие характеристики:

• Вершина ("излом") графика находится в точке $(2, 0)$.
• Пересечение с осью OY: при $x=0$, $y = |2^0 - 4| = |-3| = 3$. Точка $(0, 3)$.
• При $x \to -\infty$, $2^x \to 0$, следовательно $y \to |0 - 4| = 4$. Таким образом, у графика есть левосторонняя горизонтальная асимптота $y=4$.
• При $x \to +\infty$, $y = 2^x - 4 \to +\infty$.

Ответ: График функции $y = |2^x - 4|$ строится в два этапа. Сначала строится график показательной функции $y_1 = 2^x - 4$, который является графиком $y = 2^x$, смещенным на 4 единицы вниз. Затем часть графика $y_1$, расположенная ниже оси абсцисс (для $x<2$), симметрично отражается относительно этой оси.

б) $y = |9 - 3^x|$

Построение графика этой функции аналогично предыдущему пункту.

1. Сначала построим график вспомогательной функции $y_1 = 9 - 3^x$. Этот график получается из графика показательной функции $y = 3^x$ следующими преобразованиями: сначала симметричное отражение относительно оси OX (получаем $y = -3^x$), а затем сдвиг вверх по оси OY на 9 единиц.

• Область определения функции $y_1 = 9 - 3^x$ — все действительные числа, $D(y_1) = (-\infty; +\infty)$.
• Горизонтальная асимптота графика $y = -3^x$ — это ось абсцисс ($y=0$). При сдвиге вверх на 9 единиц асимптота становится $y = 9$.
• Найдем точки пересечения с осями координат:
  • Пересечение с осью OY: $x=0$, $y_1 = 9 - 3^0 = 9 - 1 = 8$. Точка $(0, 8)$.
  • Пересечение с осью OX: $y_1=0$, $9 - 3^x = 0$, $3^x = 9$, $x=2$. Точка $(2, 0)$.
• Функция $y_1 = 9 - 3^x$ убывает на всей области определения.

2. Теперь построим график функции $y = |9 - 3^x|$. Часть графика $y_1 = 9 - 3^x$, где $y_1 \ge 0$, остается без изменений. Часть, где $y_1 < 0$, отражается симметрично относительно оси OX.

Проанализируем знак функции $y_1 = 9 - 3^x$:

• $y_1 \ge 0$ при $9 - 3^x \ge 0$, то есть при $3^x \le 9$, что означает $x \le 2$. На этом промежутке график $y = |9 - 3^x|$ совпадает с графиком $y_1 = 9 - 3^x$.
• $y_1 < 0$ при $9 - 3^x < 0$, то есть при $3^x > 9$, что означает $x > 2$. На этом промежутке график $y = |9 - 3^x|$ получается отражением графика $y_1 = 9 - 3^x$ относительно оси OX. То есть, на этом промежутке $y = -(9 - 3^x) = 3^x - 9$.

Таким образом, функция может быть записана в виде:

$y = \begin{cases} 9 - 3^x, & \text{если } x \le 2 \\ 3^x - 9, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Итоговый график будет иметь следующие характеристики:

• Вершина ("излом") графика находится в точке $(2, 0)$.
• Пересечение с осью OY: при $x=0$, $y = |9 - 3^0| = |8| = 8$. Точка $(0, 8)$.
• При $x \to -\infty$, $3^x \to 0$, следовательно $y \to |9 - 0| = 9$. Таким образом, у графика есть левосторонняя горизонтальная асимптота $y=9$.
• При $x \to +\infty$, $y = 3^x - 9 \to +\infty$.

Ответ: График функции $y = |9 - 3^x|$ строится путем построения графика $y_1 = 9 - 3^x$ (получается из $y=3^x$ отражением относительно оси OX и сдвигом на 9 вверх) с последующим симметричным отражением части графика, лежащей ниже оси абсцисс (для $x>2$), относительно этой оси.

11.58. a) $y = |2^x + 1| + |1 - 2^x|$;

б) $y = |0,5^x + 1| - |1 - 0,5^x|$.

а)

Рассмотрим функцию $y = |2^x + 1| + |1 - 2^x|$.

Для того чтобы раскрыть модули, нужно проанализировать знаки выражений внутри них.

1. Выражение $2^x + 1$. Поскольку показательная функция $2^x$ всегда принимает положительные значения ($2^x > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$), то и сумма $2^x + 1$ всегда будет больше нуля. Следовательно, $|2^x + 1| = 2^x + 1$ для всех $x$.

2. Выражение $1 - 2^x$. Знак этого выражения зависит от значения $x$. Найдем точку, в которой выражение обращается в ноль: $1 - 2^x = 0 \implies 2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$. Эта точка делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty, 0]$ и $(0, +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x \le 0$. В этом случае $2^x \le 2^0$, то есть $2^x \le 1$. Значит, выражение $1 - 2^x \ge 0$. Следовательно, $|1 - 2^x| = 1 - 2^x$. Функция принимает вид: $y = (2^x + 1) + (1 - 2^x) = 2^x + 1 + 1 - 2^x = 2$. Итак, при $x \le 0$, $y=2$.

Случай 2: $x > 0$. В этом случае $2^x > 2^0$, то есть $2^x > 1$. Значит, выражение $1 - 2^x < 0$. Следовательно, $|1 - 2^x| = -(1 - 2^x) = 2^x - 1$. Функция принимает вид: $y = (2^x + 1) + (2^x - 1) = 2^x + 1 + 2^x - 1 = 2 \cdot 2^x = 2^{x+1}$. Итак, при $x > 0$, $y=2^{x+1}$.

Объединяя оба случая, получаем итоговую кусочно-заданную функцию:

Ответ: $y = \begin{cases} 2, & \text{если } x \le 0 \\ 2^{x+1}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

б)

Рассмотрим функцию $y = |0,5^x + 1| - |1 - 0,5^x|$.

Аналогично предыдущему пункту, проанализируем выражения под модулями.

1. Выражение $0,5^x + 1$. Так как $0,5^x > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$, то $0,5^x + 1 > 0$. Следовательно, $|0,5^x + 1| = 0,5^x + 1$ для всех $x$.

2. Выражение $1 - 0,5^x$. Найдем точку, в которой выражение равно нулю: $1 - 0,5^x = 0 \implies 0,5^x = 1 \implies 0,5^x = 0,5^0 \implies x = 0$. Эта точка делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty, 0)$ и $[0, +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x < 0$. Поскольку функция $g(x) = 0,5^x$ является убывающей (основание $0,5 \in (0, 1)$), то при $x < 0$ имеем $0,5^x > 0,5^0$, то есть $0,5^x > 1$. Значит, выражение $1 - 0,5^x < 0$. Следовательно, $|1 - 0,5^x| = -(1 - 0,5^x) = 0,5^x - 1$. Функция принимает вид: $y = (0,5^x + 1) - (0,5^x - 1) = 0,5^x + 1 - 0,5^x + 1 = 2$. Итак, при $x < 0$, $y=2$.

Случай 2: $x \ge 0$. В этом случае $0,5^x \le 0,5^0$, то есть $0,5^x \le 1$. Значит, выражение $1 - 0,5^x \ge 0$. Следовательно, $|1 - 0,5^x| = 1 - 0,5^x$. Функция принимает вид: $y = (0,5^x + 1) - (1 - 0,5^x) = 0,5^x + 1 - 1 + 0,5^x = 2 \cdot 0,5^x = 2 \cdot (2^{-1})^x = 2 \cdot 2^{-x} = 2^{1-x}$. Итак, при $x \ge 0$, $y=2^{1-x}$.

Объединяя оба случая, получаем итоговую кусочно-заданную функцию:

Ответ: $y = \begin{cases} 2, & \text{если } x < 0 \\ 2^{1-x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

11.59. a) $2^{3x} = 128$;

б) $6^{3x} = 216$;

в) $3^{2x} = \frac{1}{27}$;

г) $\left(\frac{1}{7}\right)^{5x} = \frac{1}{343}$.

а) Дано уравнение $2^{3x} = 128$.

Для решения показательного уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 2.

Представим число 128 в виде степени с основанием 2. Мы знаем, что $2^7 = 128$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$2^{3x} = 2^7$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$3x = 7$

Чтобы найти $x$, разделим обе части полученного линейного уравнения на 3:

$x = \frac{7}{3}$

Ответ: $x = \frac{7}{3}$.

б) Дано уравнение $6^{3x} = 216$.

Приведем обе части уравнения к основанию 6. Число 216 является третьей степенью числа 6, так как $6^3 = 216$.

Перепишем уравнение с одинаковыми основаниями:

$6^{3x} = 6^3$

Приравниваем показатели степеней:

$3x = 3$

Разделим обе части на 3:

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

в) Дано уравнение $3^{2x} = \frac{1}{27}$.

Приведем обе части к основанию 3. Сначала представим число 27 как степень тройки: $27 = 3^3$.

Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, мы можем записать правую часть уравнения следующим образом:

$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$

Теперь уравнение имеет вид:

$3^{2x} = 3^{-3}$

Приравниваем показатели степеней:

$2x = -3$

Разделим обе части на 2:

$x = -\frac{3}{2}$

Ответ: $x = -\frac{3}{2}$.

г) Дано уравнение $(\frac{1}{7})^{5x} = \frac{1}{343}$.

Приведем обе части к одному основанию $\frac{1}{7}$.

Для этого представим число 343 как степень семерки: $7^3 = 343$.

Следовательно, правую часть уравнения можно переписать так:

$\frac{1}{343} = \frac{1}{7^3} = (\frac{1}{7})^3$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(\frac{1}{7})^{5x} = (\frac{1}{7})^3$

Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели степеней:

$5x = 3$

Разделим обе части на 5, чтобы найти $x$:

$x = \frac{3}{5}$

Ответ: $x = \frac{3}{5}$.

11.60. a) $(\sqrt{2})^{x+2} = \frac{1}{2}$;

Б) $(\sqrt{3})^{-2x+9} = \frac{1}{\sqrt{3}};$

В) $(\sqrt[3]{5})^{6x-1} = \sqrt[6]{5}$;

Г) $(\sqrt[5]{4})^{-9x-6} = \sqrt[3]{4}$.

а) Приведем обе части уравнения $(\sqrt{2})^{x+2} = \frac{1}{2}$ к основанию 2. Поскольку $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, уравнение можно переписать в виде: $(2^{\frac{1}{2}})^{x+2} = 2^{-1}$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ получаем: $2^{\frac{x+2}{2}} = 2^{-1}$. Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели: $\frac{x+2}{2} = -1$. Решим полученное уравнение: $x+2 = -2$. $x = -4$.
Ответ: -4.

б) Приведем обе части уравнения $(\sqrt{3})^{-2x+9} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ к основанию 3. Зная, что $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{\sqrt{3}} = 3^{-\frac{1}{2}}$, перепишем уравнение: $(3^{\frac{1}{2}})^{-2x+9} = 3^{-\frac{1}{2}}$. Упростим левую часть, используя свойство степени: $3^{\frac{-2x+9}{2}} = 3^{-\frac{1}{2}}$. Приравниваем показатели степеней: $\frac{-2x+9}{2} = -\frac{1}{2}$. Умножим обе части на 2: $-2x+9 = -1$. $-2x = -10$. $x = 5$.
Ответ: 5.

в) Приведем обе части уравнения $(\sqrt[3]{5})^{6x-1} = \sqrt[6]{5}$ к основанию 5. Используем тождества $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$, поэтому $\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt[6]{5} = 5^{\frac{1}{6}}$: $(5^{\frac{1}{3}})^{6x-1} = 5^{\frac{1}{6}}$. Упростим левую часть: $5^{\frac{6x-1}{3}} = 5^{\frac{1}{6}}$. Приравниваем показатели: $\frac{6x-1}{3} = \frac{1}{6}$. Умножим обе части уравнения на 6: $2(6x-1) = 1$. $12x - 2 = 1$. $12x = 3$. $x = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

г) Приведем обе части уравнения $(\sqrt[5]{4})^{-9x-6} = \sqrt[3]{4}$ к основанию 4. Поскольку $\sqrt[5]{4} = 4^{\frac{1}{5}}$ и $\sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}}$, уравнение принимает вид: $(4^{\frac{1}{5}})^{-9x-6} = 4^{\frac{1}{3}}$. Упростим левую часть: $4^{\frac{-9x-6}{5}} = 4^{\frac{1}{3}}$. Приравниваем показатели степеней: $\frac{-9x-6}{5} = \frac{1}{3}$. Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение): $3(-9x-6) = 5 \cdot 1$. $-27x - 18 = 5$. $-27x = 5 + 18$. $-27x = 23$. $x = -\frac{23}{27}$.
Ответ: $-\frac{23}{27}$.

Решите неравенство:

11.61. а) $4^x \le 64$;

б) $\left(\frac{1}{2}\right)^x > \frac{1}{8}$;

в) $5^x \ge 25$;

г) $\left(\frac{2}{3}\right)^x < \frac{8}{27}$.

а)
Исходное неравенство: $4^x \le 64$.
Чтобы решить это показательное неравенство, приведем обе части к одному основанию. Правая часть $64$ может быть представлена как степень числа $4$: $64 = 4^3$.
Теперь неравенство имеет вид: $4^x \le 4^3$.
Так как основание степени $4 > 1$, показательная функция $y=4^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.
$x \le 3$.
Решение неравенства можно записать в виде промежутка: $x \in (-\infty; 3]$.
Ответ: $x \in (-\infty; 3]$.

б)
Исходное неравенство: $(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{8}$.
Приведем обе части неравенства к основанию $\frac{1}{2}$. Мы знаем, что $8 = 2^3$, следовательно $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = (\frac{1}{2})^3$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^3$.
Так как основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция $y=(\frac{1}{2})^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.
$x < 3$.
Решение неравенства в виде промежутка: $x \in (-\infty; 3)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

в)
Исходное неравенство: $5^x \ge 25$.
Приведем обе части к основанию $5$. Правая часть $25$ — это $5^2$.
Неравенство принимает вид: $5^x \ge 5^2$.
Основание степени $5 > 1$, поэтому показательная функция $y=5^x$ является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется.
$x \ge 2$.
Решение неравенства в виде промежутка: $x \in [2; +\infty)$.
Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

г)
Исходное неравенство: $(\frac{2}{3})^x < \frac{8}{27}$.
Приведем обе части к основанию $\frac{2}{3}$. Заметим, что $8 = 2^3$ и $27 = 3^3$, поэтому $\frac{8}{27} = \frac{2^3}{3^3} = (\frac{2}{3})^3$.
Неравенство можно переписать так: $(\frac{2}{3})^x < (\frac{2}{3})^3$.
Так как основание степени $0 < \frac{2}{3} < 1$, показательная функция $y=(\frac{2}{3})^x$ является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства нужно изменить на противоположный.
$x > 3$.
Решение неравенства в виде промежутка: $x \in (3; +\infty)$.
Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

11.62. а) $(\frac{1}{3})^x \geq 81;$

б) $15^x < \frac{1}{225};$

в) $(\frac{2}{7})^x \leq \frac{343}{8};$

г) $2^x > \frac{1}{256}.$

а) Чтобы решить показательное неравенство $(\frac{1}{3})^x \ge 81$, приведем обе его части к одному основанию. Основание в левой части равно $\frac{1}{3}$. Число 81 в правой части можно представить как степень числа 3, а затем как степень числа $\frac{1}{3}$.
$81 = 3^4 = (\frac{1}{3})^{-4}$.
Подставим это в исходное неравенство:
$(\frac{1}{3})^x \ge (\frac{1}{3})^{-4}$.
Так как основание степени $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.
$x \le -4$.
Решением неравенства является промежуток $(-\infty; -4]$.
Ответ: $x \le -4$.

б) Решим неравенство $15^x < \frac{1}{225}$.
Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 15. Мы знаем, что $225 = 15^2$.
Следовательно, $\frac{1}{225} = \frac{1}{15^2} = 15^{-2}$.
Получаем неравенство:
$15^x < 15^{-2}$.
Так как основание степени $a = 15$ больше единицы ($a > 1$), то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.
$x < -2$.
Решением неравенства является промежуток $(-\infty; -2)$.
Ответ: $x < -2$.

в) Решим неравенство $(\frac{2}{7})^x \le \frac{343}{8}$.
Приведем обе части к одному основанию. Заметим, что $343 = 7^3$ и $8 = 2^3$.
Тогда правую часть можно записать так: $\frac{343}{8} = \frac{7^3}{2^3} = (\frac{7}{2})^3$.
Чтобы привести к основанию $\frac{2}{7}$, воспользуемся свойством степени $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$:
$(\frac{7}{2})^3 = (\frac{1}{\frac{2}{7}})^3 = ((\frac{2}{7})^{-1})^3 = (\frac{2}{7})^{-3}$.
Неравенство принимает вид:
$(\frac{2}{7})^x \le (\frac{2}{7})^{-3}$.
Так как основание степени $a = \frac{2}{7}$ находится в интервале $(0; 1)$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.
$x \ge -3$.
Решением неравенства является промежуток $[-3; +\infty)$.
Ответ: $x \ge -3$.

г) Решим неравенство $2^x > \frac{1}{256}$.
Приведем правую часть к основанию 2. Найдем степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 256:
$2^8 = 256$.
Следовательно, $\frac{1}{256} = \frac{1}{2^8} = 2^{-8}$.
Подставим это в исходное неравенство:
$2^x > 2^{-8}$.
Так как основание степени $a=2$ больше единицы ($a > 1$), то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.
$x > -8$.
Решением неравенства является промежуток $(-8; +\infty)$.
Ответ: $x > -8$.

11.63. a) $(3\sqrt{3})^x \ge \sqrt{3};$

б) $(4\sqrt[3]{4})^x \le \sqrt[3]{4};$

В) $(9\sqrt[3]{9})^x \le 3\sqrt{3};$

Г) $(8\sqrt[5]{4})^x \ge \sqrt[3]{32}.$

а) $(3\sqrt{3})^x \ge \sqrt{3}$
Для решения показательного неравенства необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае это будет 3.
Преобразуем левую часть неравенства:
$3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$.
Тогда $(3\sqrt{3})^x = (3^{\frac{3}{2}})^x = 3^{\frac{3x}{2}}$.
Преобразуем правую часть неравенства:
$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.
Теперь неравенство имеет вид:
$3^{\frac{3x}{2}} \ge 3^{\frac{1}{2}}$.
Поскольку основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется.
$\frac{3x}{2} \ge \frac{1}{2}$
Умножим обе части на 2:
$3x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{3}$
Ответ: $x \in [\frac{1}{3}; +\infty)$.

б) $(4\sqrt[3]{4})^x \le \sqrt[3]{4}$
Приведем обе части неравенства к основанию 4.
Левая часть: $4\sqrt[3]{4} = 4^1 \cdot 4^{\frac{1}{3}} = 4^{1+\frac{1}{3}} = 4^{\frac{4}{3}}$.
Тогда $(4\sqrt[3]{4})^x = (4^{\frac{4}{3}})^x = 4^{\frac{4x}{3}}$.
Правая часть: $\sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}}$.
Неравенство принимает вид:
$4^{\frac{4x}{3}} \le 4^{\frac{1}{3}}$.
Так как основание $4 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$\frac{4x}{3} \le \frac{1}{3}$
Умножим обе части на 3:
$4x \le 1$
$x \le \frac{1}{4}$
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{4}]$.

в) $(9\sqrt[3]{9})^x \le 3\sqrt{3}$
Приведем обе части к основанию 3.
Левая часть: $9\sqrt[3]{9} = 3^2 \cdot (3^2)^{\frac{1}{3}} = 3^2 \cdot 3^{\frac{2}{3}} = 3^{2+\frac{2}{3}} = 3^{\frac{8}{3}}$.
Тогда $(9\sqrt[3]{9})^x = (3^{\frac{8}{3}})^x = 3^{\frac{8x}{3}}$.
Правая часть: $3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$.
Неравенство принимает вид:
$3^{\frac{8x}{3}} \le 3^{\frac{3}{2}}$.
Основание $3 > 1$, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:
$\frac{8x}{3} \le \frac{3}{2}$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2, то есть на 6:
$6 \cdot \frac{8x}{3} \le 6 \cdot \frac{3}{2}$
$2 \cdot 8x \le 3 \cdot 3$
$16x \le 9$
$x \le \frac{9}{16}$
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{9}{16}]$.

г) $(8\sqrt[5]{4})^x \ge \sqrt[3]{32}$
Приведем обе части к основанию 2.
Левая часть: $8\sqrt[5]{4} = 2^3 \cdot \sqrt[5]{2^2} = 2^3 \cdot 2^{\frac{2}{5}} = 2^{3+\frac{2}{5}} = 2^{\frac{15}{5}+\frac{2}{5}} = 2^{\frac{17}{5}}$.
Тогда $(8\sqrt[5]{4})^x = (2^{\frac{17}{5}})^x = 2^{\frac{17x}{5}}$.
Правая часть: $\sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{2^5} = 2^{\frac{5}{3}}$.
Неравенство принимает вид:
$2^{\frac{17x}{5}} \ge 2^{\frac{5}{3}}$.
Основание $2 > 1$, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:
$\frac{17x}{5} \ge \frac{5}{3}$
Умножим обе части на 15:
$15 \cdot \frac{17x}{5} \ge 15 \cdot \frac{5}{3}$
$3 \cdot 17x \ge 5 \cdot 5$
$51x \ge 25$
$x \ge \frac{25}{51}$
Ответ: $x \in [\frac{25}{51}; +\infty)$.

11.64. a) $3^x = 4 - x;$

б) $\left(\frac{1}{2}\right)^x = x + 3;$

B) $5^x = 6 - x;$

Г) $\left(\frac{1}{7}\right)^x = x + 8.$

а) $3^x = 4 - x$

Данное уравнение является трансцендентным, и его решение в общем виде аналитически затруднительно. Решим его, используя свойства функций. Рассмотрим две функции: $y_1(x) = 3^x$ и $y_2(x) = 4 - x$.

1. Функция $y_1(x) = 3^x$ является показательной с основанием $3 > 1$, следовательно, она строго возрастает на всей числовой прямой.

2. Функция $y_2(x) = 4 - x$ является линейной с угловым коэффициентом $k = -1$, следовательно, она строго убывает на всей числовой прямой.

Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня. Найдем этот корень методом подбора, проверяя целые значения $x$.

При $x = 1$: Левая часть: $3^1 = 3$. Правая часть: $4 - 1 = 3$. Поскольку левая и правая части равны ($3 = 3$), $x = 1$ является корнем уравнения. Так как корень единственный, других решений нет.

Ответ: $x = 1$

б) $(\frac{1}{2})^x = x + 3$

Решим это уравнение, анализируя свойства функций, стоящих в левой и правой частях. Рассмотрим функции: $y_1(x) = (\frac{1}{2})^x$ и $y_2(x) = x + 3$.

1. Функция $y_1(x) = (\frac{1}{2})^x$ является показательной с основанием $a = \frac{1}{2}$, где $0 < a < 1$. Следовательно, эта функция строго убывает на всей области определения.

2. Функция $y_2(x) = x + 3$ является линейной с угловым коэффициентом $k = 1$, следовательно, она строго возрастает на всей числовой прямой.

Так как одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, их графики могут иметь не более одной точки пересечения. Значит, уравнение имеет не более одного корня. Найдем корень методом подбора.

При $x = -1$: Левая часть: $(\frac{1}{2})^{-1} = 2^1 = 2$. Правая часть: $-1 + 3 = 2$. Равенство выполняется ($2 = 2$), значит, $x = -1$ является корнем. Поскольку решение единственное, это и есть ответ.

Ответ: $x = -1$

в) $5^x = 6 - x$

Это уравнение также решается с помощью анализа свойств функций. Рассмотрим функции $y_1(x) = 5^x$ и $y_2(x) = 6 - x$.

1. Функция $y_1(x) = 5^x$ — показательная с основанием $5 > 1$, поэтому она строго возрастающая.

2. Функция $y_2(x) = 6 - x$ — линейная с отрицательным угловым коэффициентом ($k = -1$), поэтому она строго убывающая.

Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более одного раза. Следовательно, уравнение имеет не более одного решения. Подберем корень, проверяя целые числа.

При $x = 1$: Левая часть: $5^1 = 5$. Правая часть: $6 - 1 = 5$. Левая и правая части равны, следовательно, $x = 1$ — корень уравнения. В силу единственности это окончательный ответ.

Ответ: $x = 1$

г) $(\frac{1}{7})^x = x + 8$

Решим уравнение, используя метод оценки монотонности функций. Рассмотрим две функции: $y_1(x) = (\frac{1}{7})^x$ и $y_2(x) = x + 8$.

1. Функция $y_1(x) = (\frac{1}{7})^x$ — показательная, основание $a = \frac{1}{7}$ находится в интервале $(0, 1)$, значит, функция строго убывает.

2. Функция $y_2(x) = x + 8$ — линейная, угловой коэффициент $k = 1 > 0$, значит, функция строго возрастает.

Поскольку одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, уравнение может иметь не более одного корня. Найдем этот корень подбором.

При $x = -1$: Левая часть: $(\frac{1}{7})^{-1} = 7^1 = 7$. Правая часть: $-1 + 8 = 7$. Так как $7 = 7$, $x = -1$ является решением. Учитывая, что решение единственное, других корней нет.

Ответ: $x = -1$