Номер 11.59, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.59, страница 70.

11.59. a) $2^{3x} = 128$;

б) $6^{3x} = 216$;

в) $3^{2x} = \frac{1}{27}$;

г) $\left(\frac{1}{7}\right)^{5x} = \frac{1}{343}$.

а) Дано уравнение $2^{3x} = 128$.

Для решения показательного уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 2.

Представим число 128 в виде степени с основанием 2. Мы знаем, что $2^7 = 128$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$2^{3x} = 2^7$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$3x = 7$

Чтобы найти $x$, разделим обе части полученного линейного уравнения на 3:

$x = \frac{7}{3}$

Ответ: $x = \frac{7}{3}$.

б) Дано уравнение $6^{3x} = 216$.

Приведем обе части уравнения к основанию 6. Число 216 является третьей степенью числа 6, так как $6^3 = 216$.

Перепишем уравнение с одинаковыми основаниями:

$6^{3x} = 6^3$

Приравниваем показатели степеней:

$3x = 3$

Разделим обе части на 3:

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

в) Дано уравнение $3^{2x} = \frac{1}{27}$.

Приведем обе части к основанию 3. Сначала представим число 27 как степень тройки: $27 = 3^3$.

Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, мы можем записать правую часть уравнения следующим образом:

$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$

Теперь уравнение имеет вид:

$3^{2x} = 3^{-3}$

Приравниваем показатели степеней:

$2x = -3$

Разделим обе части на 2:

$x = -\frac{3}{2}$

Ответ: $x = -\frac{3}{2}$.

г) Дано уравнение $(\frac{1}{7})^{5x} = \frac{1}{343}$.

Приведем обе части к одному основанию $\frac{1}{7}$.

Для этого представим число 343 как степень семерки: $7^3 = 343$.

Следовательно, правую часть уравнения можно переписать так:

$\frac{1}{343} = \frac{1}{7^3} = (\frac{1}{7})^3$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(\frac{1}{7})^{5x} = (\frac{1}{7})^3$

Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели степеней:

$5x = 3$

Разделим обе части на 5, чтобы найти $x$:

$x = \frac{3}{5}$

Ответ: $x = \frac{3}{5}$.