Номер 11.53, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.53, страница 69.

11.53. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \left(\frac{1}{2}\right)^x, & \text{если } x < 0, \\ \sqrt{x} + 1, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

a) Вычислите $f(-5); f(-2,5); f(0); f(4); f(1,69)$.

б) Постройте и прочитайте график функции $y = f(x)$.

а) Для вычисления значений функции в заданных точках необходимо определить, какой из двух формул нужно воспользоваться в зависимости от знака аргумента $x$.

• Для $x = -5$: поскольку $-5 < 0$, используем формулу $f(x) = (\frac{1}{2})^x$.
  $f(-5) = (\frac{1}{2})^{-5} = 2^5 = 32$.

• Для $x = -2,5$: поскольку $-2,5 < 0$, используем формулу $f(x) = (\frac{1}{2})^x$.
  $f(-2,5) = (\frac{1}{2})^{-2,5} = (2^{-1})^{-2,5} = 2^{2,5} = 2^{5/2} = \sqrt{2^5} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

• Для $x = 0$: поскольку $0 \ge 0$, используем формулу $f(x) = \sqrt{x} + 1$.
  $f(0) = \sqrt{0} + 1 = 0 + 1 = 1$.

• Для $x = 4$: поскольку $4 \ge 0$, используем формулу $f(x) = \sqrt{x} + 1$.
  $f(4) = \sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = 3$.

• Для $x = 1,69$: поскольку $1,69 \ge 0$, используем формулу $f(x) = \sqrt{x} + 1$.
  $f(1,69) = \sqrt{1,69} + 1 = 1,3 + 1 = 2,3$.

Ответ: $f(-5) = 32$; $f(-2,5) = 4\sqrt{2}$; $f(0) = 1$; $f(4) = 3$; $f(1,69) = 2,3$.

б) Построим и прочитаем график функции $y = f(x)$.

График функции состоит из двух частей:

1. На промежутке $(-\infty, 0)$ это график показательной функции $y = (\frac{1}{2})^x$. Это убывающая кривая, асимптотически приближающаяся к оси $x$ при $x \to +\infty$ (но мы рассматриваем только $x<0$). График проходит через контрольные точки: $(-1, 2)$, $(-2, 4)$, $(-3, 8)$. При приближении $x$ к $0$ слева, $y$ стремится к $1$. В точке $(0,1)$ на этой части графика будет "выколотая" точка.

2. На промежутке $[0, +\infty)$ это график функции $y = \sqrt{x} + 1$. Это правая ветвь параболы $x = (y-1)^2$, или, что то же самое, график стандартной функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 1 единицу вверх вдоль оси $y$. График начинается в точке $(0, 1)$ (точка "закрашена") и проходит через контрольные точки: $(1, 2)$, $(4, 3)$, $(9, 4)$.

Так как предел левой части графика в точке $x=0$ совпадает со значением правой части в этой же точке ($f(0)=1$), то "выколотая" точка заполняется, и функция является непрерывной на всей числовой прямой.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

• Область значений: $E(f) = [1; +\infty)$.

• Четность/нечетность: Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной), так как область определения симметрична относительно нуля, но условие $f(-x) = f(x)$ или $f(-x) = -f(x)$ не выполняется. Например, $f(-1)=2$, а $f(1)=2$, но $f(-2)=4$, а $f(2)=\sqrt{2}+1 \neq 4$.

• Нули функции: Нет, так как $y \ge 1$ для всех $x$. График не пересекает ось $Ox$.

• Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при всех $x \in D(f)$.

• Промежутки монотонности: Функция убывает при $x \in (-\infty, 0]$ и возрастает при $x \in [0, +\infty)$.

• Точки экстремума: $x_{min} = 0$ — точка минимума. $y_{min} = f(0) = 1$ — минимальное значение функции.

Ответ: График функции построен путем объединения части графика показательной функции $y = (\frac{1}{2})^x$ при $x < 0$ и части графика степенной функции $y = \sqrt{x} + 1$ при $x \ge 0$. Функция непрерывна, убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$, имеет точку минимума $(0, 1)$. Область значений функции — $[1, +\infty)$.