Номер 11.49, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.49, страница 68.

11.49. a) $y = 5^{x+1}$;

б) $y = \left(\frac{3}{4}\right)^{x-2}$;

В) $y = 3^{x-2}$;

Г) $y = \left(\frac{2}{3}\right)^{x+0,5}$.

а) $y = 5^{x+1}$

Это показательная функция вида $y = a^x$, преобразованная путем сдвига. Основные свойства данной функции:

1. Область определения: Выражение в показателе степени, $x+1$, определено для любого действительного числа $x$. Следовательно, область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Показательная функция с положительным основанием ($a=5$) принимает только положительные значения. Следовательно, область значений функции $E(y) = (0; +\infty)$.

3. Монотонность: Основание степени $a = 5$, что больше 1. Это означает, что функция является строго возрастающей на всей своей области определения.

4. Преобразование графика: График функции $y = 5^{x+1}$ получается из графика базовой функции $y = 5^x$ путем горизонтального сдвига на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$.

5. Пересечение с осями координат:

• При $x=0$, $y = 5^{0+1} = 5$. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0; 5)$.
• Так как $y > 0$ для любого $x$, график функции не пересекает ось $Ox$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(0; +\infty)$. Функция является строго возрастающей. График получен сдвигом графика $y=5^x$ на 1 единицу влево.

б) $y = \left(\frac{3}{4}\right)^{x-2}$

Это показательная функция с основанием $a = \frac{3}{4}$ и показателем $x-2$.

1. Область определения: Показатель степени $x-2$ определен для любых $x \in R$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Поскольку основание $a = \frac{3}{4} > 0$, функция принимает только положительные значения. Таким образом, $E(y) = (0; +\infty)$.

3. Монотонность: Основание $a = \frac{3}{4}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Следовательно, функция является строго убывающей на всей области определения.

4. Преобразование графика: График функции $y = (\frac{3}{4})^{x-2}$ получается из графика функции $y = (\frac{3}{4})^x$ путем горизонтального сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

5. Пересечение с осями координат:

• При $x=0$, $y = (\frac{3}{4})^{0-2} = (\frac{3}{4})^{-2} = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0; \frac{16}{9})$.
• График не пересекает ось $Ox$, так как $y$ всегда положителен.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(0; +\infty)$. Функция является строго убывающей. График получен сдвигом графика $y=(\frac{3}{4})^x$ на 2 единицы вправо.

в) $y = 3^{x-2}$

Это показательная функция с основанием $a = 3$ и показателем $x-2$.

1. Область определения: Показатель $x-2$ определен для всех действительных $x$. Следовательно, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Так как основание $a=3$ положительно, значения функции всегда больше нуля. Следовательно, $E(y) = (0; +\infty)$.

3. Монотонность: Основание $a = 3 > 1$, поэтому функция является строго возрастающей на всей области определения.

4. Преобразование графика: График функции $y = 3^{x-2}$ получается из графика $y = 3^x$ путем сдвига на 2 единицы вправо по оси абсцисс.

5. Пересечение с осями координат:

• При $x=0$, $y = 3^{0-2} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0; \frac{1}{9})$.
• Пересечения с осью $Ox$ нет.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(0; +\infty)$. Функция является строго возрастающей. График получен сдвигом графика $y=3^x$ на 2 единицы вправо.

г) $y = \left(\frac{2}{3}\right)^{x+0,5}$

Это показательная функция с основанием $a = \frac{2}{3}$ и показателем $x+0,5$.

1. Область определения: Показатель $x+0,5$ определен для любых $x \in R$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Основание $a = \frac{2}{3}$ положительно, поэтому функция принимает только положительные значения. Таким образом, $E(y) = (0; +\infty)$.

3. Монотонность: Основание $a = \frac{2}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, следовательно, функция является строго убывающей на всей области определения.

4. Преобразование графика: График функции $y = (\frac{2}{3})^{x+0,5}$ получается из графика $y = (\frac{2}{3})^x$ путем сдвига на 0,5 единицы влево вдоль оси $Ox$, так как $x+0,5 = x - (-0,5)$.

5. Пересечение с осями координат:

• При $x=0$, $y = (\frac{2}{3})^{0+0,5} = (\frac{2}{3})^{1/2} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0; \frac{\sqrt{6}}{3})$.
• Пересечения с осью $Ox$ нет.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(0; +\infty)$. Функция является строго убывающей. График получен сдвигом графика $y=(\frac{2}{3})^x$ на 0,5 единицы влево.