Страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Найдите область значений функции:

11.44. a) $y = 3 \cdot 2^x;$

б) $y = 14 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x;$

в) $y = \frac{1}{2} \cdot 7^x;$

г) $y = \frac{4}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x.$

Чтобы найти область значений для каждой из предложенных функций, необходимо проанализировать их структуру. Все функции имеют вид $y = k \cdot a^x$, где $a > 0, a \neq 1$ и $k$ — постоянный коэффициент.

Основное свойство показательной функции $f(x) = a^x$ заключается в том, что ее область значений — это множество всех положительных действительных чисел, то есть $E(f) = (0; +\infty)$. Это означает, что $a^x > 0$ для любого действительного $x$.

Область значений функции $y = k \cdot a^x$ зависит от знака коэффициента $k$. Если $k > 0$, то область значений будет $(0; +\infty)$. Если $k < 0$, то область значений будет $(-\infty; 0)$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) $y = 3 \cdot 2^x$

В данной функции основание степени $a=2$ и коэффициент $k=3$.

Так как показательная часть $2^x$ всегда больше нуля для любого $x$, мы имеем неравенство:

$2^x > 0$

Умножим обе части этого неравенства на положительный коэффициент $k=3$. Знак неравенства при этом не изменится:

$3 \cdot 2^x > 3 \cdot 0$

Это значит, что $y > 0$.

Следовательно, область значений функции — это все положительные числа.

Ответ: $E(y) = (0; +\infty)$.

б) $y = 14 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$

Здесь основание степени $a = \frac{1}{2}$ и коэффициент $k=14$.

Для показательной функции $(\frac{1}{2})^x$ справедливо, что ее значения всегда положительны:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x > 0$

Коэффициент $k=14$ также является положительным числом. Умножая неравенство на $14$, получаем:

$14 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x > 14 \cdot 0$

Отсюда следует, что $y > 0$.

Таким образом, область значений функции состоит из всех положительных действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (0; +\infty)$.

в) $y = \frac{1}{2} \cdot 7^x$

В этой функции основание $a=7$ и коэффициент $k=\frac{1}{2}$.

Значение показательной части $7^x$ всегда больше нуля:

$7^x > 0$

Коэффициент $k=\frac{1}{2}$ положителен. Умножим на него обе части неравенства:

$\frac{1}{2} \cdot 7^x > \frac{1}{2} \cdot 0$

Получаем, что $y > 0$.

Область значений функции — это интервал от $0$ до $+\infty$.

Ответ: $E(y) = (0; +\infty)$.

г) $y = \frac{4}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$

Здесь основание $a=\frac{1}{2}$ и коэффициент $k=\frac{4}{3}$.

Как и в предыдущих случаях, показательная часть функции строго положительна:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x > 0$

Коэффициент $k=\frac{4}{3}$ — положительное число, поэтому при умножении на него знак неравенства сохраняется:

$\frac{4}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x > \frac{4}{3} \cdot 0$

Из чего следует, что $y > 0$.

Областью значений функции является множество всех положительных чисел.

Ответ: $E(y) = (0; +\infty)$.

11.45. a) $y = 3^x + 1;$

б) $y = \left(\frac{7}{9}\right)^x + 6;$

В) $y = 17^x - 2;$

Г) $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x - 8.$

а) Для нахождения области значений функции $y = 3^x + 1$ воспользуемся свойством показательной функции. Область значений функции $y_0 = 3^x$ — это все положительные числа, то есть $E(y_0) = (0; +\infty)$. Это можно записать в виде неравенства $3^x > 0$ для любого действительного $x$. Функция $y = 3^x + 1$ получается из $y_0 = 3^x$ сдвигом вверх на 1 единицу. Чтобы найти новую область значений, прибавим 1 к обеим частям неравенства: $3^x + 1 > 0 + 1$, что дает $y > 1$. Таким образом, область значений функции — это все числа, большие 1.
Ответ: $E(y) = (1; +\infty)$.

б) Рассмотрим функцию $y = \left(\frac{7}{9}\right)^x + 6$. Базовая показательная функция $y_0 = \left(\frac{7}{9}\right)^x$ имеет область значений $(0; +\infty)$, так как любое положительное число в любой действительной степени является положительным. Значит, $\left(\frac{7}{9}\right)^x > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Данная функция представляет собой сдвиг графика $y_0$ вверх на 6 единиц. Прибавим 6 к неравенству: $\left(\frac{7}{9}\right)^x + 6 > 0 + 6$, откуда получаем $y > 6$. Область значений функции — это интервал от 6 до плюс бесконечности.
Ответ: $E(y) = (6; +\infty)$.

в) Для функции $y = 17^x - 2$ основная часть — это показательная функция $y_0 = 17^x$. Область значений этой функции — $E(y_0) = (0; +\infty)$, что означает $17^x > 0$ для любого $x$. График функции $y = 17^x - 2$ получается из графика $y_0 = 17^x$ сдвигом вниз на 2 единицы. Чтобы найти область значений, вычтем 2 из обеих частей неравенства: $17^x - 2 > 0 - 2$, что приводит к $y > -2$. Таким образом, функция принимает все значения, которые строго больше -2.
Ответ: $E(y) = (-2; +\infty)$.

г) Рассмотрим функцию $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x - 8$. Аналогично предыдущим пунктам, область значений показательной функции $y_0 = \left(\frac{2}{5}\right)^x$ есть интервал $(0; +\infty)$. Это выражается неравенством $\left(\frac{2}{5}\right)^x > 0$. График исходной функции получен сдвигом графика $y_0$ вниз на 8 единиц. Выполним соответствующее преобразование с неравенством: $\left(\frac{2}{5}\right)^x - 8 > 0 - 8$, что дает нам $y > -8$. Следовательно, область значений данной функции — это все числа, большие -8.
Ответ: $E(y) = (-8; +\infty)$.

11.46. a) $y = \frac{0.5^{2x} - 16}{0.5^x - 4}$;

б) $y = \frac{2^{3x} - 27}{2^{2x} + 3 \cdot 2^x + 9}$;

В) $y = \frac{2.5^{2x} - 25}{2.5^x + 5}$;

Г) $y = \frac{4^{3x} + 125}{4^{2x} - 5 \cdot 4^x + 25}$.

а) Рассмотрим функцию $ y = \frac{0,5^{2x} - 16}{0,5^x - 4} $.
Числитель дроби $ 0,5^{2x} - 16 $ можно представить как разность квадратов, так как $ 0,5^{2x} = (0,5^x)^2 $ и $ 16 = 4^2 $.
Используя формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, получаем:
$ 0,5^{2x} - 16 = (0,5^x - 4)(0,5^x + 4) $.
Теперь подставим это в исходное уравнение:
$ y = \frac{(0,5^x - 4)(0,5^x + 4)}{0,5^x - 4} $.
Область определения функции задается условием, что знаменатель не равен нулю:
$ 0,5^x - 4 \neq 0 \implies 0,5^x \neq 4 \implies (\frac{1}{2})^x \neq 2^2 \implies 2^{-x} \neq 2^2 \implies -x \neq 2 \implies x \neq -2 $.
При условии $ x \neq -2 $, мы можем сократить дробь на общий множитель $ (0,5^x - 4) $:
$ y = 0,5^x + 4 $.
Ответ: $ y = 0,5^x + 4 $.

б) Рассмотрим функцию $ y = \frac{2^{3x} - 27}{2^{2x} + 3 \cdot 2^x + 9} $.
Числитель дроби $ 2^{3x} - 27 $ можно представить как разность кубов, так как $ 2^{3x} = (2^x)^3 $ и $ 27 = 3^3 $.
Используя формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $, получаем:
$ 2^{3x} - 27 = (2^x - 3)((2^x)^2 + 2^x \cdot 3 + 3^2) = (2^x - 3)(2^{2x} + 3 \cdot 2^x + 9) $.
Теперь подставим это в исходное уравнение:
$ y = \frac{(2^x - 3)(2^{2x} + 3 \cdot 2^x + 9)}{2^{2x} + 3 \cdot 2^x + 9} $.
Рассмотрим знаменатель $ 2^{2x} + 3 \cdot 2^x + 9 $. Пусть $ t = 2^x $, где $ t > 0 $. Тогда знаменатель превращается в квадратный трехчлен $ t^2 + 3t + 9 $. Дискриминант этого трехчлена $ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 $. Так как $ D < 0 $ и старший коэффициент положителен, трехчлен всегда положителен. Следовательно, знаменатель никогда не равен нулю.
Мы можем сократить дробь на общий множитель $ (2^{2x} + 3 \cdot 2^x + 9) $:
$ y = 2^x - 3 $.
Ответ: $ y = 2^x - 3 $.

в) Рассмотрим функцию $ y = \frac{2,5^{2x} - 25}{2,5^x + 5} $.
Числитель дроби $ 2,5^{2x} - 25 $ можно представить как разность квадратов, так как $ 2,5^{2x} = (2,5^x)^2 $ и $ 25 = 5^2 $.
Используя формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, получаем:
$ 2,5^{2x} - 25 = (2,5^x - 5)(2,5^x + 5) $.
Теперь подставим это в исходное уравнение:
$ y = \frac{(2,5^x - 5)(2,5^x + 5)}{2,5^x + 5} $.
Рассмотрим знаменатель $ 2,5^x + 5 $. Так как показательная функция $ 2,5^x $ всегда принимает положительные значения ($ 2,5^x > 0 $), то и сумма $ 2,5^x + 5 > 5 $. Следовательно, знаменатель никогда не равен нулю.
Мы можем сократить дробь на общий множитель $ (2,5^x + 5) $:
$ y = 2,5^x - 5 $.
Ответ: $ y = 2,5^x - 5 $.

г) Рассмотрим функцию $ y = \frac{4^{3x} + 125}{4^{2x} - 5 \cdot 4^x + 25} $.
Числитель дроби $ 4^{3x} + 125 $ можно представить как сумму кубов, так как $ 4^{3x} = (4^x)^3 $ и $ 125 = 5^3 $.
Используя формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $, получаем:
$ 4^{3x} + 125 = (4^x + 5)((4^x)^2 - 4^x \cdot 5 + 5^2) = (4^x + 5)(4^{2x} - 5 \cdot 4^x + 25) $.
Теперь подставим это в исходное уравнение:
$ y = \frac{(4^x + 5)(4^{2x} - 5 \cdot 4^x + 25)}{4^{2x} - 5 \cdot 4^x + 25} $.
Рассмотрим знаменатель $ 4^{2x} - 5 \cdot 4^x + 25 $. Пусть $ t = 4^x $, где $ t > 0 $. Тогда знаменатель превращается в квадратный трехчлен $ t^2 - 5t + 25 $. Дискриминант этого трехчлена $ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 25 - 100 = -75 $. Так как $ D < 0 $ и старший коэффициент положителен, трехчлен всегда положителен. Следовательно, знаменатель никогда не равен нулю.
Мы можем сократить дробь на общий множитель $ (4^{2x} - 5 \cdot 4^x + 25) $:
$ y = 4^x + 5 $.
Ответ: $ y = 4^x + 5 $.

11.47. а) $y = \frac{0,5^x - 9}{\sqrt{0,5^x} + 3};$

б) $y = \frac{216^x - 8}{36^x + 2 \cdot 6^x + 4};$

в) $y = \frac{1,21^x - 4}{\sqrt{1,21^x} - 2};$

г) $y = \frac{64^x + 1}{16^x - 4^x + 1}.$

Дана функция $y = \frac{0,5^x - 9}{\sqrt{0,5^x} + 3}$.

Для упрощения этого выражения заметим, что числитель является разностью квадратов. Представим $0,5^x$ как $(\sqrt{0,5^x})^2$ и $9$ как $3^2$.

Тогда числитель можно переписать в виде: $0,5^x - 9 = (\sqrt{0,5^x})^2 - 3^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = \sqrt{0,5^x}$ и $b = 3$.

Получаем: $(\sqrt{0,5^x})^2 - 3^2 = (\sqrt{0,5^x} - 3)(\sqrt{0,5^x} + 3)$.

Теперь подставим это выражение обратно в исходную функцию:

$y = \frac{(\sqrt{0,5^x} - 3)(\sqrt{0,5^x} + 3)}{\sqrt{0,5^x} + 3}$

Так как $\sqrt{0,5^x} \ge 0$, знаменатель $\sqrt{0,5^x} + 3$ всегда строго положителен и не равен нулю. Следовательно, мы можем сократить дробь на общий множитель $(\sqrt{0,5^x} + 3)$.

В результате упрощения получаем:

$y = \sqrt{0,5^x} - 3$

Ответ: $y = \sqrt{0,5^x} - 3$.

Дана функция $y = \frac{216^x - 8}{36^x + 2 \cdot 6^x + 4}$.

Чтобы упростить выражение, представим числа в основаниях степеней через общее основание $6$. Мы знаем, что $216 = 6^3$, $36 = 6^2$ и $8 = 2^3$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, перепишем функцию:

$y = \frac{(6^3)^x - 2^3}{(6^2)^x + 2 \cdot 6^x + 4} = \frac{(6^x)^3 - 2^3}{(6^x)^2 + 2 \cdot 6^x + 4}$

Числитель представляет собой разность кубов. Применим формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 6^x$ и $b = 2$.

Получаем: $(6^x)^3 - 2^3 = (6^x - 2)((6^x)^2 + 6^x \cdot 2 + 2^2) = (6^x - 2)(36^x + 2 \cdot 6^x + 4)$.

Подставим полученное выражение в исходную функцию:

$y = \frac{(6^x - 2)(36^x + 2 \cdot 6^x + 4)}{36^x + 2 \cdot 6^x + 4}$

Выражение в знаменателе, $36^x + 2 \cdot 6^x + 4$, является неполным квадратом суммы и всегда положительно. Следовательно, мы можем сократить дробь на этот общий множитель.

В результате получаем:

$y = 6^x - 2$

Ответ: $y = 6^x - 2$.

Дана функция $y = \frac{1,21^x - 4}{\sqrt{1,21^x} - 2}$.

Для упрощения заметим, что числитель можно представить как разность квадратов, так как $1,21^x = (\sqrt{1,21^x})^2$ и $4 = 2^2$.

Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = \sqrt{1,21^x}$ и $b = 2$.

$1,21^x - 4 = (\sqrt{1,21^x} - 2)(\sqrt{1,21^x} + 2)$.

Подставим это в исходное выражение:

$y = \frac{(\sqrt{1,21^x} - 2)(\sqrt{1,21^x} + 2)}{\sqrt{1,21^x} - 2}$

Сократив дробь на общий множитель $(\sqrt{1,21^x} - 2)$ (при условии, что он не равен нулю), получим:

$y = \sqrt{1,21^x} + 2$.

Далее, упростим выражение $\sqrt{1,21^x}$. Так как $1,21 = 1,1^2$, имеем: $\sqrt{1,21^x} = \sqrt{(1,1^2)^x} = \sqrt{(1,1^x)^2} = 1,1^x$ (поскольку $1,1^x$ всегда положительно).

Окончательный вид функции:

$y = 1,1^x + 2$

Ответ: $y = 1,1^x + 2$.

Дана функция $y = \frac{64^x + 1}{16^x - 4^x + 1}$.

Представим числа в основаниях степеней через общее основание $4$. Мы знаем, что $64 = 4^3$ и $16 = 4^2$.

Перепишем функцию, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$y = \frac{(4^3)^x + 1^3}{(4^2)^x - 4^x + 1} = \frac{(4^x)^3 + 1^3}{(4^x)^2 - 4^x + 1}$

Числитель представляет собой сумму кубов. Применим формулу $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = 4^x$ и $b = 1$.

Получаем: $(4^x)^3 + 1^3 = (4^x + 1)((4^x)^2 - 4^x \cdot 1 + 1^2) = (4^x + 1)(16^x - 4^x + 1)$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = \frac{(4^x + 1)(16^x - 4^x + 1)}{16^x - 4^x + 1}$

Знаменатель $16^x - 4^x + 1$ является неполным квадратом разности и всегда положителен. Следовательно, мы можем сократить дробь на этот общий множитель.

В результате получаем:

$y = 4^x + 1$

Ответ: $y = 4^x + 1$.

Постройте график функции:

11.48. a) $y = 2^x + 1;$

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2;$

в) $y = 4^x - 1;$

г) $y = (0,1)^x + 2.$

а) $y = 2^x + 1$

Для построения графика функции $y = 2^x + 1$ воспользуемся методом преобразования графиков. Исходный график — это график показательной функции $y_0 = 2^x$.

1. Строим график базовой функции $y = 2^x$.
Это показательная функция с основанием $a=2$, где $a > 1$, следовательно, функция является возрастающей. Её график проходит через точку $(0; 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось абсцисс).
Составим таблицу значений для $y=2^x$:
$x = -2 \implies y = 2^{-2} = 1/4 = 0.25$
$x = -1 \implies y = 2^{-1} = 1/2 = 0.5$
$x = 0 \implies y = 2^0 = 1$
$x = 1 \implies y = 2^1 = 2$
$x = 2 \implies y = 2^2 = 4$

2. Выполняем преобразование.
График функции $y = 2^x + 1$ получается из графика $y = 2^x$ путем параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу вверх вдоль оси OY. Это означает, что каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, y_0 + 1)$.
Горизонтальная асимптота $y=0$ также сдвигается на 1 единицу вверх и становится прямой $y=1$.

3. Находим точки и строим итоговый график.
Используем точки для $y=2^x$ и прибавим 1 к их ординатам:
$(-2; 1.25)$, $(-1; 1.5)$, $(0; 2)$, $(1; 3)$, $(2; 5)$.
Проводим через эти точки плавную кривую, которая при $x \to -\infty$ приближается к асимптоте $y=1$.

Ответ: График функции $y = 2^x + 1$ — это экспоненциальная кривая, полученная сдвигом графика $y=2^x$ на 1 единицу вверх. Функция возрастает, её область значений — $(1; +\infty)$, горизонтальная асимптота — $y=1$. График проходит через точку $(0; 2)$.

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2$

График функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2$ строится на основе графика базовой функции $y_0 = \left(\frac{1}{3}\right)^x$.

1. Строим график базовой функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$.
Это показательная функция с основанием $a=\frac{1}{3}$, где $0 < a < 1$, следовательно, функция является убывающей. График проходит через точку $(0; 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$.
Таблица значений для $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$:
$x = -2 \implies y = (\frac{1}{3})^{-2} = 9$
$x = -1 \implies y = (\frac{1}{3})^{-1} = 3$
$x = 0 \implies y = (\frac{1}{3})^0 = 1$
$x = 1 \implies y = (\frac{1}{3})^1 = 1/3 \approx 0.33$

2. Выполняем преобразование.
График функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2$ получается из графика $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ сдвигом на 2 единицы вниз вдоль оси OY. Каждая точка $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, y_0 - 2)$.
Горизонтальная асимптота $y=0$ сдвигается на 2 единицы вниз и становится прямой $y=-2$.

3. Находим точки и строим итоговый график.
Вычитаем 2 из ординат точек базового графика:
$(-2; 7)$, $(-1; 1)$, $(0; -1)$, $(1; -1\frac{2}{3})$.
Проводим через эти точки плавную кривую, которая при $x \to +\infty$ приближается к асимптоте $y=-2$.

Ответ: График функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2$ — это экспоненциальная кривая, полученная сдвигом графика $y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$ на 2 единицы вниз. Функция убывает, её область значений — $(-2; +\infty)$, горизонтальная асимптота — $y=-2$. График проходит через точки $(0; -1)$ и $(-1; 1)$.

в) $y = 4^x - 1$

График функции $y = 4^x - 1$ строится путем преобразования графика базовой функции $y_0 = 4^x$.

1. Строим график базовой функции $y = 4^x$.
Это показательная функция с основанием $a=4$, где $a > 1$, значит, она возрастающая. График проходит через точку $(0; 1)$, асимптота — $y=0$.
Таблица значений для $y=4^x$:
$x = -1 \implies y = 4^{-1} = 0.25$
$x = 0 \implies y = 4^0 = 1$
$x = 1 \implies y = 4^1 = 4$
$x = 1.5 \implies y = 4^{1.5} = 4\sqrt{4} = 8$

2. Выполняем преобразование.
График функции $y = 4^x - 1$ получается из графика $y = 4^x$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси OY. Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается к $y=-1$.

3. Находим точки и строим итоговый график.
Вычитаем 1 из ординат точек базового графика:
$(-1; -0.75)$, $(0; 0)$, $(1; 3)$, $(1.5; 7)$.
График проходит через начало координат. Проводим плавную кривую, приближающуюся к асимптоте $y=-1$ при $x \to -\infty$.

Ответ: График функции $y = 4^x - 1$ — это экспоненциальная кривая, полученная сдвигом графика $y=4^x$ на 1 единицу вниз. Функция возрастает, её область значений — $(-1; +\infty)$, горизонтальная асимптота — $y=-1$. График проходит через начало координат $(0; 0)$.

г) $y = (0,1)^x + 2$

График функции $y = (0.1)^x + 2$ строится на основе графика базовой функции $y_0 = (0.1)^x$.

1. Строим график базовой функции $y = (0.1)^x$.
Это показательная функция с основанием $a=0.1$, где $0 < a < 1$, поэтому функция убывающая. График проходит через точку $(0; 1)$, асимптота — $y=0$.
Таблица значений для $y = (0.1)^x$:
$x = -1 \implies y = (0.1)^{-1} = 10$
$x = 0 \implies y = (0.1)^0 = 1$
$x = 1 \implies y = (0.1)^1 = 0.1$

2. Выполняем преобразование.
График функции $y = (0.1)^x + 2$ получается из графика $y = (0.1)^x$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается к $y=2$.

3. Находим точки и строим итоговый график.
Прибавляем 2 к ординатам точек базового графика:
$(-1; 12)$, $(0; 3)$, $(1; 2.1)$.
Проводим через эти точки плавную кривую, которая при $x \to +\infty$ приближается к асимптоте $y=2$.

Ответ: График функции $y = (0.1)^x + 2$ — это экспоненциальная кривая, полученная сдвигом графика $y=(0.1)^x$ на 2 единицы вверх. Функция убывает, её область значений — $(2; +\infty)$, горизонтальная асимптота — $y=2$. График проходит через точку $(0; 3)$.

11.49. a) $y = 5^{x+1}$;

б) $y = \left(\frac{3}{4}\right)^{x-2}$;

В) $y = 3^{x-2}$;

Г) $y = \left(\frac{2}{3}\right)^{x+0,5}$.

а) $y = 5^{x+1}$

Это показательная функция вида $y = a^x$, преобразованная путем сдвига. Основные свойства данной функции:

1. Область определения: Выражение в показателе степени, $x+1$, определено для любого действительного числа $x$. Следовательно, область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Показательная функция с положительным основанием ($a=5$) принимает только положительные значения. Следовательно, область значений функции $E(y) = (0; +\infty)$.

3. Монотонность: Основание степени $a = 5$, что больше 1. Это означает, что функция является строго возрастающей на всей своей области определения.

4. Преобразование графика: График функции $y = 5^{x+1}$ получается из графика базовой функции $y = 5^x$ путем горизонтального сдвига на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$.

5. Пересечение с осями координат:

• При $x=0$, $y = 5^{0+1} = 5$. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0; 5)$.
• Так как $y > 0$ для любого $x$, график функции не пересекает ось $Ox$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(0; +\infty)$. Функция является строго возрастающей. График получен сдвигом графика $y=5^x$ на 1 единицу влево.

б) $y = \left(\frac{3}{4}\right)^{x-2}$

Это показательная функция с основанием $a = \frac{3}{4}$ и показателем $x-2$.

1. Область определения: Показатель степени $x-2$ определен для любых $x \in R$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Поскольку основание $a = \frac{3}{4} > 0$, функция принимает только положительные значения. Таким образом, $E(y) = (0; +\infty)$.

3. Монотонность: Основание $a = \frac{3}{4}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Следовательно, функция является строго убывающей на всей области определения.

4. Преобразование графика: График функции $y = (\frac{3}{4})^{x-2}$ получается из графика функции $y = (\frac{3}{4})^x$ путем горизонтального сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

5. Пересечение с осями координат:

• При $x=0$, $y = (\frac{3}{4})^{0-2} = (\frac{3}{4})^{-2} = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0; \frac{16}{9})$.
• График не пересекает ось $Ox$, так как $y$ всегда положителен.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(0; +\infty)$. Функция является строго убывающей. График получен сдвигом графика $y=(\frac{3}{4})^x$ на 2 единицы вправо.

в) $y = 3^{x-2}$

Это показательная функция с основанием $a = 3$ и показателем $x-2$.

1. Область определения: Показатель $x-2$ определен для всех действительных $x$. Следовательно, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Так как основание $a=3$ положительно, значения функции всегда больше нуля. Следовательно, $E(y) = (0; +\infty)$.

3. Монотонность: Основание $a = 3 > 1$, поэтому функция является строго возрастающей на всей области определения.

4. Преобразование графика: График функции $y = 3^{x-2}$ получается из графика $y = 3^x$ путем сдвига на 2 единицы вправо по оси абсцисс.

5. Пересечение с осями координат:

• При $x=0$, $y = 3^{0-2} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0; \frac{1}{9})$.
• Пересечения с осью $Ox$ нет.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(0; +\infty)$. Функция является строго возрастающей. График получен сдвигом графика $y=3^x$ на 2 единицы вправо.

г) $y = \left(\frac{2}{3}\right)^{x+0,5}$

Это показательная функция с основанием $a = \frac{2}{3}$ и показателем $x+0,5$.

1. Область определения: Показатель $x+0,5$ определен для любых $x \in R$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Основание $a = \frac{2}{3}$ положительно, поэтому функция принимает только положительные значения. Таким образом, $E(y) = (0; +\infty)$.

3. Монотонность: Основание $a = \frac{2}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, следовательно, функция является строго убывающей на всей области определения.

4. Преобразование графика: График функции $y = (\frac{2}{3})^{x+0,5}$ получается из графика $y = (\frac{2}{3})^x$ путем сдвига на 0,5 единицы влево вдоль оси $Ox$, так как $x+0,5 = x - (-0,5)$.

5. Пересечение с осями координат:

• При $x=0$, $y = (\frac{2}{3})^{0+0,5} = (\frac{2}{3})^{1/2} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0; \frac{\sqrt{6}}{3})$.
• Пересечения с осью $Ox$ нет.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(0; +\infty)$. Функция является строго убывающей. График получен сдвигом графика $y=(\frac{2}{3})^x$ на 0,5 единицы влево.

11.50. a) $y = 2^{x-1} + 3;$

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x+2} + 4;$

В) $y = 3^{x+1} - 2;$

Г) $y = \left(\frac{4}{5}\right)^{x-1} - 3.$

а) $y = 2^{x-1} + 3$

Данная функция является показательной. Чтобы найти ее область значений, проанализируем ее структуру. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

1. Рассмотрим базовую показательную функцию $f(t) = 2^t$. Область значений этой функции — все положительные числа, то есть $E(f) = (0, +\infty)$. Это означает, что $2^t > 0$ для любого действительного $t$.

2. В нашем случае показатель степени равен $t = x-1$. Это не влияет на множество значений, которое может принимать показательное выражение. Следовательно, выражение $2^{x-1}$ также всегда будет строго больше нуля: $2^{x-1} > 0$ для любого $x$.

3. Функция $y$ получается путем прибавления константы 3 к выражению $2^{x-1}$. Это соответствует сдвигу графика функции $y = 2^{x-1}$ на 3 единицы вверх вдоль оси ординат.

4. Так как $2^{x-1} > 0$, то, прибавив 3 к обеим частям неравенства, получим: $2^{x-1} + 3 > 0 + 3$, что равносильно $y > 3$.

Таким образом, область значений функции — это все числа, большие 3.

Ответ: Область значений функции $E(y) = (3, +\infty)$.

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x+2} + 4$

Эта функция также является показательной. Найдем ее область значений аналогичным образом. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

1. Основание степени равно $\frac{1}{3}$, что является положительным числом, не равным 1. Базовая функция $f(t) = \left(\frac{1}{3}\right)^t$ имеет область значений $E(f) = (0, +\infty)$.

2. Показатель степени $t = x+2$ не изменяет того факта, что значение показательного выражения всегда положительно. То есть, $\left(\frac{1}{3}\right)^{x+2} > 0$ для всех действительных $x$.

3. К этому выражению прибавляется константа 4, что означает сдвиг графика функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x+2}$ на 4 единицы вверх.

4. Исходя из неравенства $\left(\frac{1}{3}\right)^{x+2} > 0$, получаем: $\left(\frac{1}{3}\right)^{x+2} + 4 > 0 + 4$, то есть $y > 4$.

Следовательно, область значений функции — это все числа, которые строго больше 4.

Ответ: Область значений функции $E(y) = (4, +\infty)$.

в) $y = 3^{x+1} - 2$

Проанализируем данную показательную функцию. Область определения — $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

1. Выражение $3^{x+1}$ является показательным с основанием 3. Так как $3 > 0$, значение $3^t$ всегда положительно для любого $t$. В данном случае $t = x+1$. Значит, $3^{x+1} > 0$ для любого $x$.

2. Из выражения $3^{x+1}$ вычитается константа 2. Это соответствует сдвигу графика функции $y = 3^{x+1}$ на 2 единицы вниз вдоль оси ординат.

3. Используя неравенство $3^{x+1} > 0$, вычтем 2 из обеих частей: $3^{x+1} - 2 > 0 - 2$, откуда $y > -2$.

Таким образом, область значений функции состоит из всех чисел, больших -2.

Ответ: Область значений функции $E(y) = (-2, +\infty)$.

г) $y = \left(\frac{4}{5}\right)^{x-1} - 3$

Найдем область значений для этой показательной функции. Область определения — $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

1. Основание степени $\frac{4}{5}$ находится в интервале $(0, 1)$. Независимо от этого, для любого показателя степени $t=x-1$, значение выражения $\left(\frac{4}{5}\right)^{x-1}$ будет строго положительным: $\left(\frac{4}{5}\right)^{x-1} > 0$.

2. Из этого выражения вычитается константа 3, что означает сдвиг графика функции $y = \left(\frac{4}{5}\right)^{x-1}$ на 3 единицы вниз.

3. Из неравенства $\left(\frac{4}{5}\right)^{x-1} > 0$ следует: $\left(\frac{4}{5}\right)^{x-1} - 3 > 0 - 3$, что дает $y > -3$.

Итак, область значений функции — это все числа, большие -3.

Ответ: Область значений функции $E(y) = (-3, +\infty)$.