Номер 11.46, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.46, страница 68.

11.46. a) $y = \frac{0.5^{2x} - 16}{0.5^x - 4}$;

б) $y = \frac{2^{3x} - 27}{2^{2x} + 3 \cdot 2^x + 9}$;

В) $y = \frac{2.5^{2x} - 25}{2.5^x + 5}$;

Г) $y = \frac{4^{3x} + 125}{4^{2x} - 5 \cdot 4^x + 25}$.

а) Рассмотрим функцию $ y = \frac{0,5^{2x} - 16}{0,5^x - 4} $.
Числитель дроби $ 0,5^{2x} - 16 $ можно представить как разность квадратов, так как $ 0,5^{2x} = (0,5^x)^2 $ и $ 16 = 4^2 $.
Используя формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, получаем:
$ 0,5^{2x} - 16 = (0,5^x - 4)(0,5^x + 4) $.
Теперь подставим это в исходное уравнение:
$ y = \frac{(0,5^x - 4)(0,5^x + 4)}{0,5^x - 4} $.
Область определения функции задается условием, что знаменатель не равен нулю:
$ 0,5^x - 4 \neq 0 \implies 0,5^x \neq 4 \implies (\frac{1}{2})^x \neq 2^2 \implies 2^{-x} \neq 2^2 \implies -x \neq 2 \implies x \neq -2 $.
При условии $ x \neq -2 $, мы можем сократить дробь на общий множитель $ (0,5^x - 4) $:
$ y = 0,5^x + 4 $.
Ответ: $ y = 0,5^x + 4 $.

б) Рассмотрим функцию $ y = \frac{2^{3x} - 27}{2^{2x} + 3 \cdot 2^x + 9} $.
Числитель дроби $ 2^{3x} - 27 $ можно представить как разность кубов, так как $ 2^{3x} = (2^x)^3 $ и $ 27 = 3^3 $.
Используя формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $, получаем:
$ 2^{3x} - 27 = (2^x - 3)((2^x)^2 + 2^x \cdot 3 + 3^2) = (2^x - 3)(2^{2x} + 3 \cdot 2^x + 9) $.
Теперь подставим это в исходное уравнение:
$ y = \frac{(2^x - 3)(2^{2x} + 3 \cdot 2^x + 9)}{2^{2x} + 3 \cdot 2^x + 9} $.
Рассмотрим знаменатель $ 2^{2x} + 3 \cdot 2^x + 9 $. Пусть $ t = 2^x $, где $ t > 0 $. Тогда знаменатель превращается в квадратный трехчлен $ t^2 + 3t + 9 $. Дискриминант этого трехчлена $ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 $. Так как $ D < 0 $ и старший коэффициент положителен, трехчлен всегда положителен. Следовательно, знаменатель никогда не равен нулю.
Мы можем сократить дробь на общий множитель $ (2^{2x} + 3 \cdot 2^x + 9) $:
$ y = 2^x - 3 $.
Ответ: $ y = 2^x - 3 $.

в) Рассмотрим функцию $ y = \frac{2,5^{2x} - 25}{2,5^x + 5} $.
Числитель дроби $ 2,5^{2x} - 25 $ можно представить как разность квадратов, так как $ 2,5^{2x} = (2,5^x)^2 $ и $ 25 = 5^2 $.
Используя формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, получаем:
$ 2,5^{2x} - 25 = (2,5^x - 5)(2,5^x + 5) $.
Теперь подставим это в исходное уравнение:
$ y = \frac{(2,5^x - 5)(2,5^x + 5)}{2,5^x + 5} $.
Рассмотрим знаменатель $ 2,5^x + 5 $. Так как показательная функция $ 2,5^x $ всегда принимает положительные значения ($ 2,5^x > 0 $), то и сумма $ 2,5^x + 5 > 5 $. Следовательно, знаменатель никогда не равен нулю.
Мы можем сократить дробь на общий множитель $ (2,5^x + 5) $:
$ y = 2,5^x - 5 $.
Ответ: $ y = 2,5^x - 5 $.

г) Рассмотрим функцию $ y = \frac{4^{3x} + 125}{4^{2x} - 5 \cdot 4^x + 25} $.
Числитель дроби $ 4^{3x} + 125 $ можно представить как сумму кубов, так как $ 4^{3x} = (4^x)^3 $ и $ 125 = 5^3 $.
Используя формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $, получаем:
$ 4^{3x} + 125 = (4^x + 5)((4^x)^2 - 4^x \cdot 5 + 5^2) = (4^x + 5)(4^{2x} - 5 \cdot 4^x + 25) $.
Теперь подставим это в исходное уравнение:
$ y = \frac{(4^x + 5)(4^{2x} - 5 \cdot 4^x + 25)}{4^{2x} - 5 \cdot 4^x + 25} $.
Рассмотрим знаменатель $ 4^{2x} - 5 \cdot 4^x + 25 $. Пусть $ t = 4^x $, где $ t > 0 $. Тогда знаменатель превращается в квадратный трехчлен $ t^2 - 5t + 25 $. Дискриминант этого трехчлена $ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 25 - 100 = -75 $. Так как $ D < 0 $ и старший коэффициент положителен, трехчлен всегда положителен. Следовательно, знаменатель никогда не равен нулю.
Мы можем сократить дробь на общий множитель $ (4^{2x} - 5 \cdot 4^x + 25) $:
$ y = 4^x + 5 $.
Ответ: $ y = 4^x + 5 $.