Номер 11.60, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.60, страница 70.

11.60. a) $(\sqrt{2})^{x+2} = \frac{1}{2}$;

Б) $(\sqrt{3})^{-2x+9} = \frac{1}{\sqrt{3}};$

В) $(\sqrt[3]{5})^{6x-1} = \sqrt[6]{5}$;

Г) $(\sqrt[5]{4})^{-9x-6} = \sqrt[3]{4}$.

а) Приведем обе части уравнения $(\sqrt{2})^{x+2} = \frac{1}{2}$ к основанию 2. Поскольку $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, уравнение можно переписать в виде: $(2^{\frac{1}{2}})^{x+2} = 2^{-1}$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ получаем: $2^{\frac{x+2}{2}} = 2^{-1}$. Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели: $\frac{x+2}{2} = -1$. Решим полученное уравнение: $x+2 = -2$. $x = -4$.
Ответ: -4.

б) Приведем обе части уравнения $(\sqrt{3})^{-2x+9} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ к основанию 3. Зная, что $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{\sqrt{3}} = 3^{-\frac{1}{2}}$, перепишем уравнение: $(3^{\frac{1}{2}})^{-2x+9} = 3^{-\frac{1}{2}}$. Упростим левую часть, используя свойство степени: $3^{\frac{-2x+9}{2}} = 3^{-\frac{1}{2}}$. Приравниваем показатели степеней: $\frac{-2x+9}{2} = -\frac{1}{2}$. Умножим обе части на 2: $-2x+9 = -1$. $-2x = -10$. $x = 5$.
Ответ: 5.

в) Приведем обе части уравнения $(\sqrt[3]{5})^{6x-1} = \sqrt[6]{5}$ к основанию 5. Используем тождества $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$, поэтому $\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt[6]{5} = 5^{\frac{1}{6}}$: $(5^{\frac{1}{3}})^{6x-1} = 5^{\frac{1}{6}}$. Упростим левую часть: $5^{\frac{6x-1}{3}} = 5^{\frac{1}{6}}$. Приравниваем показатели: $\frac{6x-1}{3} = \frac{1}{6}$. Умножим обе части уравнения на 6: $2(6x-1) = 1$. $12x - 2 = 1$. $12x = 3$. $x = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

г) Приведем обе части уравнения $(\sqrt[5]{4})^{-9x-6} = \sqrt[3]{4}$ к основанию 4. Поскольку $\sqrt[5]{4} = 4^{\frac{1}{5}}$ и $\sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}}$, уравнение принимает вид: $(4^{\frac{1}{5}})^{-9x-6} = 4^{\frac{1}{3}}$. Упростим левую часть: $4^{\frac{-9x-6}{5}} = 4^{\frac{1}{3}}$. Приравниваем показатели степеней: $\frac{-9x-6}{5} = \frac{1}{3}$. Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение): $3(-9x-6) = 5 \cdot 1$. $-27x - 18 = 5$. $-27x = 5 + 18$. $-27x = 23$. $x = -\frac{23}{27}$.
Ответ: $-\frac{23}{27}$.