Номер 11.63, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.63, страница 70.

11.63. a) $(3\sqrt{3})^x \ge \sqrt{3};$

б) $(4\sqrt[3]{4})^x \le \sqrt[3]{4};$

В) $(9\sqrt[3]{9})^x \le 3\sqrt{3};$

Г) $(8\sqrt[5]{4})^x \ge \sqrt[3]{32}.$

а) $(3\sqrt{3})^x \ge \sqrt{3}$
Для решения показательного неравенства необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае это будет 3.
Преобразуем левую часть неравенства:
$3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$.
Тогда $(3\sqrt{3})^x = (3^{\frac{3}{2}})^x = 3^{\frac{3x}{2}}$.
Преобразуем правую часть неравенства:
$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.
Теперь неравенство имеет вид:
$3^{\frac{3x}{2}} \ge 3^{\frac{1}{2}}$.
Поскольку основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется.
$\frac{3x}{2} \ge \frac{1}{2}$
Умножим обе части на 2:
$3x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{3}$
Ответ: $x \in [\frac{1}{3}; +\infty)$.

б) $(4\sqrt[3]{4})^x \le \sqrt[3]{4}$
Приведем обе части неравенства к основанию 4.
Левая часть: $4\sqrt[3]{4} = 4^1 \cdot 4^{\frac{1}{3}} = 4^{1+\frac{1}{3}} = 4^{\frac{4}{3}}$.
Тогда $(4\sqrt[3]{4})^x = (4^{\frac{4}{3}})^x = 4^{\frac{4x}{3}}$.
Правая часть: $\sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}}$.
Неравенство принимает вид:
$4^{\frac{4x}{3}} \le 4^{\frac{1}{3}}$.
Так как основание $4 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$\frac{4x}{3} \le \frac{1}{3}$
Умножим обе части на 3:
$4x \le 1$
$x \le \frac{1}{4}$
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{4}]$.

в) $(9\sqrt[3]{9})^x \le 3\sqrt{3}$
Приведем обе части к основанию 3.
Левая часть: $9\sqrt[3]{9} = 3^2 \cdot (3^2)^{\frac{1}{3}} = 3^2 \cdot 3^{\frac{2}{3}} = 3^{2+\frac{2}{3}} = 3^{\frac{8}{3}}$.
Тогда $(9\sqrt[3]{9})^x = (3^{\frac{8}{3}})^x = 3^{\frac{8x}{3}}$.
Правая часть: $3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$.
Неравенство принимает вид:
$3^{\frac{8x}{3}} \le 3^{\frac{3}{2}}$.
Основание $3 > 1$, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:
$\frac{8x}{3} \le \frac{3}{2}$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2, то есть на 6:
$6 \cdot \frac{8x}{3} \le 6 \cdot \frac{3}{2}$
$2 \cdot 8x \le 3 \cdot 3$
$16x \le 9$
$x \le \frac{9}{16}$
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{9}{16}]$.

г) $(8\sqrt[5]{4})^x \ge \sqrt[3]{32}$
Приведем обе части к основанию 2.
Левая часть: $8\sqrt[5]{4} = 2^3 \cdot \sqrt[5]{2^2} = 2^3 \cdot 2^{\frac{2}{5}} = 2^{3+\frac{2}{5}} = 2^{\frac{15}{5}+\frac{2}{5}} = 2^{\frac{17}{5}}$.
Тогда $(8\sqrt[5]{4})^x = (2^{\frac{17}{5}})^x = 2^{\frac{17x}{5}}$.
Правая часть: $\sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{2^5} = 2^{\frac{5}{3}}$.
Неравенство принимает вид:
$2^{\frac{17x}{5}} \ge 2^{\frac{5}{3}}$.
Основание $2 > 1$, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:
$\frac{17x}{5} \ge \frac{5}{3}$
Умножим обе части на 15:
$15 \cdot \frac{17x}{5} \ge 15 \cdot \frac{5}{3}$
$3 \cdot 17x \ge 5 \cdot 5$
$51x \ge 25$
$x \ge \frac{25}{51}$
Ответ: $x \in [\frac{25}{51}; +\infty)$.