Номер 11.70, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.70, страница 71.

При каких значениях аргумента график заданной показательной функции расположен выше графика указанной линейной функции:

11.70. a) $y = 3^x$, $y = -x + 1$;

б) $y = 0.5^x$, $y = 2x + 1;

в) $y = 5^x$, $y = -2x + 1;

г) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, $y = x + 1?

а)

Требуется найти значения аргумента $x$, при которых график функции $y = 3^x$ расположен выше графика функции $y = -x + 1$. Это соответствует решению неравенства $3^x > -x + 1$.

Рассмотрим функции $f(x) = 3^x$ и $g(x) = -x + 1$. Функция $f(x)$ является показательной с основанием больше 1, поэтому она возрастающая. Функция $g(x)$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом, поэтому она убывающая.

Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $3^x = -x + 1$. Перепишем его в виде $3^x + x - 1 = 0$. Легко заметить, что $x = 0$ является корнем этого уравнения, так как $3^0 + 0 - 1 = 1 - 1 = 0$.

Чтобы определить, является ли этот корень единственным, рассмотрим функцию $h(x) = 3^x + x - 1$. Ее производная $h'(x) = 3^x \ln 3 + 1$. Так как $3^x > 0$ и $\ln 3 > 0$, то $h'(x) > 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $h(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Следовательно, уравнение $h(x) = 0$ может иметь не более одного корня. Таким образом, $x = 0$ — единственная точка пересечения графиков.

Мы установили, что графики пересекаются в единственной точке $x=0$. Рассмотрим интервал $x > 0$. Так как функция $f(x) = 3^x$ возрастает, а функция $g(x) = -x + 1$ убывает, то для любого $x > 0$ будет выполняться $f(x) > f(0)$ и $g(x) < g(0)$. Поскольку $f(0) = g(0) = 1$, отсюда следует, что $f(x) > g(x)$ для всех $x > 0$. Аналогично, для $x < 0$ будет $f(x) < f(0)$ и $g(x) > g(0)$, что означает $f(x) < g(x)$. Таким образом, график функции $y = 3^x$ расположен выше графика функции $y = -x + 1$ при $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

б)

Требуется найти значения аргумента $x$, при которых график функции $y = 0,5^x$ расположен выше графика функции $y = 2x + 1$. Это соответствует решению неравенства $0,5^x > 2x + 1$.

Рассмотрим функции $f(x) = 0,5^x = (\frac{1}{2})^x$ и $g(x) = 2x + 1$. Функция $f(x)$ является показательной с основанием меньше 1, поэтому она убывающая. Функция $g(x)$ является линейной с положительным угловым коэффициентом, поэтому она возрастающая.

Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $0,5^x = 2x + 1$. Легко заметить, что $x = 0$ является корнем этого уравнения, так как $0,5^0 = 1$ и $2 \cdot 0 + 1 = 1$.

Чтобы определить, является ли этот корень единственным, рассмотрим функцию $h(x) = 0,5^x - 2x - 1$. Ее производная $h'(x) = 0,5^x \ln(0,5) - 2$. Так как $0,5^x > 0$ и $\ln(0,5) < 0$, то $0,5^x \ln(0,5) < 0$. Следовательно, $h'(x) < 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $h(x)$ является строго убывающей на всей числовой оси. Следовательно, уравнение $h(x) = 0$ может иметь не более одного корня. Таким образом, $x = 0$ — единственная точка пересечения графиков.

Мы установили, что графики пересекаются в единственной точке $x=0$. Рассмотрим интервал $x < 0$. Так как функция $f(x) = 0,5^x$ убывает, а функция $g(x) = 2x + 1$ возрастает, то для любого $x < 0$ будет выполняться $f(x) > f(0)$ и $g(x) < g(0)$. Поскольку $f(0) = g(0) = 1$, отсюда следует, что $f(x) > g(x)$ для всех $x < 0$. Аналогично, для $x > 0$ будет $f(x) < f(0)$ и $g(x) > g(0)$, что означает $f(x) < g(x)$. Таким образом, график функции $y = 0,5^x$ расположен выше графика функции $y = 2x + 1$ при $x < 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.

в)

Требуется найти значения аргумента $x$, при которых график функции $y = 5^x$ расположен выше графика функции $y = -2x + 1$. Это соответствует решению неравенства $5^x > -2x + 1$.

Рассмотрим функции $f(x) = 5^x$ и $g(x) = -2x + 1$. Функция $f(x)$ является показательной с основанием больше 1, поэтому она возрастающая. Функция $g(x)$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом, поэтому она убывающая.

Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $5^x = -2x + 1$. Перепишем его в виде $5^x + 2x - 1 = 0$. Легко заметить, что $x = 0$ является корнем этого уравнения, так как $5^0 + 2 \cdot 0 - 1 = 1 - 1 = 0$.

Чтобы определить, является ли этот корень единственным, рассмотрим функцию $h(x) = 5^x + 2x - 1$. Ее производная $h'(x) = 5^x \ln 5 + 2$. Так как $5^x > 0$ и $\ln 5 > 0$, то $h'(x) > 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $h(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Следовательно, уравнение $h(x) = 0$ может иметь не более одного корня. Таким образом, $x = 0$ — единственная точка пересечения графиков.

Мы установили, что графики пересекаются в единственной точке $x=0$. Рассмотрим интервал $x > 0$. Так как функция $f(x) = 5^x$ возрастает, а функция $g(x) = -2x + 1$ убывает, то для любого $x > 0$ будет выполняться $f(x) > f(0)$ и $g(x) < g(0)$. Поскольку $f(0) = g(0) = 1$, отсюда следует, что $f(x) > g(x)$ для всех $x > 0$. Аналогично, для $x < 0$ будет $f(x) < f(0)$ и $g(x) > g(0)$, что означает $f(x) < g(x)$. Таким образом, график функции $y = 5^x$ расположен выше графика функции $y = -2x + 1$ при $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

г)

Требуется найти значения аргумента $x$, при которых график функции $y = (\frac{1}{3})^x$ расположен выше графика функции $y = x + 1$. Это соответствует решению неравенства $(\frac{1}{3})^x > x + 1$.

Рассмотрим функции $f(x) = (\frac{1}{3})^x$ и $g(x) = x + 1$. Функция $f(x)$ является показательной с основанием меньше 1, поэтому она убывающая. Функция $g(x)$ является линейной с положительным угловым коэффициентом, поэтому она возрастающая.

Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $(\frac{1}{3})^x = x + 1$. Легко заметить, что $x = 0$ является корнем этого уравнения, так как $(\frac{1}{3})^0 = 1$ и $0 + 1 = 1$.

Чтобы определить, является ли этот корень единственным, рассмотрим функцию $h(x) = (\frac{1}{3})^x - x - 1$. Ее производная $h'(x) = (\frac{1}{3})^x \ln(\frac{1}{3}) - 1$. Так как $(\frac{1}{3})^x > 0$ и $\ln(\frac{1}{3}) < 0$, то $(\frac{1}{3})^x \ln(\frac{1}{3}) < 0$. Следовательно, $h'(x) < 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $h(x)$ является строго убывающей на всей числовой оси. Следовательно, уравнение $h(x) = 0$ может иметь не более одного корня. Таким образом, $x = 0$ — единственная точка пересечения графиков.

Мы установили, что графики пересекаются в единственной точке $x=0$. Рассмотрим интервал $x < 0$. Так как функция $f(x) = (\frac{1}{3})^x$ убывает, а функция $g(x) = x + 1$ возрастает, то для любого $x < 0$ будет выполняться $f(x) > f(0)$ и $g(x) < g(0)$. Поскольку $f(0) = g(0) = 1$, отсюда следует, что $f(x) > g(x)$ для всех $x < 0$. Аналогично, для $x > 0$ будет $f(x) < f(0)$ и $g(x) > g(0)$, что означает $f(x) < g(x)$. Таким образом, график функции $y = (\frac{1}{3})^x$ расположен выше графика функции $y = x + 1$ при $x < 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.