Номер 11.77, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.77, страница 72.

11.77. a) $2^x - 1 \ge \sqrt{x}$;

б) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x \le \sqrt{x} + 1$;

В) $3^x - 1 \ge -\sqrt{x}$;

Г) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x \ge \sqrt{x} + 1$.

а) $2^x - 1 \ge \sqrt{x}$
Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства определяется существованием квадратного корня: $x \ge 0$.
Рассмотрим две функции: $f(x) = 2^x - 1$ и $g(x) = \sqrt{x}$. Необходимо найти значения $x$, при которых график функции $f(x)$ находится не ниже графика функции $g(x)$.
Функция $f(x) = 2^x - 1$ является возрастающей. Функция $g(x) = \sqrt{x}$ также является возрастающей.
Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $2^x - 1 = \sqrt{x}$. Методом подбора легко найти два корня:
1. При $x=0$: $f(0) = 2^0 - 1 = 1 - 1 = 0$, $g(0) = \sqrt{0} = 0$. Равенство $f(0) = g(0)$ выполняется, значит, $x=0$ — корень.
2. При $x=1$: $f(1) = 2^1 - 1 = 1$, $g(1) = \sqrt{1} = 1$. Равенство $f(1) = g(1)$ выполняется, значит, $x=1$ — корень.
Функция $f(x)$ является выпуклой вниз (её вторая производная положительна), а функция $g(x)$ — выпуклой вверх (её вторая производная отрицательна). Такие функции могут пересекаться не более двух раз. Следовательно, $x=0$ и $x=1$ — единственные точки пересечения.
Проверим выполнение неравенства на интервалах, на которые точки пересечения делят ОДЗ:
- На интервале $(0, 1)$, возьмем $x = 1/4$. Получаем $2^{1/4} - 1 \approx 1.189 - 1 = 0.189$ и $\sqrt{1/4} = 0.5$. Так как $0.189 < 0.5$, неравенство на этом интервале не выполняется.
- На интервале $(1, +\infty)$, возьмем $x=4$. Получаем $2^4 - 1 = 15$ и $\sqrt{4} = 2$. Так как $15 > 2$, неравенство на этом интервале выполняется.
Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки $x=0$ и $x=1$ включаются в решение.
Объединяя результаты, получаем итоговое решение.
Ответ: $\{0\} \cup [1, +\infty)$.

б) $(\frac{1}{4})^x \le \sqrt{x} + 1$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Рассмотрим функции $f(x) = (\frac{1}{4})^x$ и $g(x) = \sqrt{x} + 1$.
Функция $f(x) = (\frac{1}{4})^x$ является строго убывающей на всей своей области определения.
Функция $g(x) = \sqrt{x} + 1$ является строго возрастающей на своей области определения $[0, +\infty)$.
Найдем точку пересечения, решив уравнение $(\frac{1}{4})^x = \sqrt{x} + 1$.
При $x=0$: $f(0) = (\frac{1}{4})^0 = 1$ и $g(0) = \sqrt{0} + 1 = 1$. Таким образом, $x=0$ — точка пересечения.
Поскольку на промежутке $[0, +\infty)$ одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, они могут пересечься не более одного раза. Следовательно, $x=0$ — единственная точка пересечения.
Для любого $x > 0$ имеем: $f(x) = (\frac{1}{4})^x < (\frac{1}{4})^0 = 1$ и $g(x) = \sqrt{x} + 1 > \sqrt{0} + 1 = 1$.
Отсюда следует, что для всех $x > 0$ выполняется $f(x) < g(x)$.
Неравенство $f(x) \le g(x)$ выполняется при $x=0$ (достигается равенство) и при всех $x > 0$ (выполняется строгое неравенство). Значит, неравенство верно для всех $x$ из ОДЗ.
Ответ: $[0, +\infty)$.

в) $3^x - 1 \ge -\sqrt{x}$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Перепишем неравенство в виде $3^x + \sqrt{x} \ge 1$.
Рассмотрим функцию $f(x) = 3^x + \sqrt{x}$. Нам нужно решить $f(x) \ge 1$.
Функция $y_1(x) = 3^x$ — строго возрастающая. Функция $y_2(x) = \sqrt{x}$ — строго возрастающая на $[0, +\infty)$. Их сумма $f(x)$ также является строго возрастающей функцией на $[0, +\infty)$.
Найдем значение функции на левой границе области определения, при $x=0$:
$f(0) = 3^0 + \sqrt{0} = 1 + 0 = 1$.
При $x=0$ выполняется равенство $f(0)=1$, значит, неравенство $f(x) \ge 1$ верно.
Так как $f(x)$ строго возрастает, для любого $x > 0$ будет выполняться $f(x) > f(0)$, то есть $f(x) > 1$.
Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$ из области допустимых значений.
Ответ: $[0, +\infty)$.

г) $(\frac{1}{3})^x \ge \sqrt{x} + 1$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Рассмотрим функции $f(x) = (\frac{1}{3})^x$ и $g(x) = \sqrt{x} + 1$.
Функция $f(x)$ является строго убывающей. Функция $g(x)$ является строго возрастающей.
Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $(\frac{1}{3})^x = \sqrt{x} + 1$.
При $x=0$: $f(0) = (\frac{1}{3})^0 = 1$ и $g(0) = \sqrt{0} + 1 = 1$. Значит, $x=0$ — точка пересечения.
Так как на $[0, +\infty)$ одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, у них может быть не более одной точки пересечения. Значит, $x=0$ — единственная общая точка.
Рассмотрим поведение функций при $x > 0$:
$f(x) = (\frac{1}{3})^x < (\frac{1}{3})^0 = 1$.
$g(x) = \sqrt{x} + 1 > \sqrt{0} + 1 = 1$.
Таким образом, для всех $x > 0$ выполняется $f(x) < g(x)$.
Следовательно, неравенство $f(x) \ge g(x)$ не выполняется ни для какого $x > 0$. Равенство достигается только в точке $x=0$.
Ответ: $\{0\}$.