Номер 11.80, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.80, страница 72.

11.80. Решите неравенство:

а) $5^x + 6^x \ge 11$;

б) $3^{x-4} + 2^{x-2} \le 11$.

а) $5^x + 6^x \ge 11$

Рассмотрим функцию $f(x) = 5^x + 6^x$. Эта функция определена для всех действительных чисел $x$.

Функции $y_1 = 5^x$ и $y_2 = 6^x$ являются показательными с основанием больше 1, поэтому они обе строго возрастают на всей числовой оси. Сумма двух строго возрастающих функций также является строго возрастающей функцией. Следовательно, функция $f(x) = 5^x + 6^x$ является строго возрастающей.

Для решения неравенства найдем корень соответствующего уравнения $5^x + 6^x = 11$. Легко заметить, подобрав значение, что $x=1$ является корнем этого уравнения, так как $5^1 + 6^1 = 5 + 6 = 11$.

Поскольку функция $f(x)$ строго возрастает и $f(1) = 11$, то:

• при $x > 1$ выполняется неравенство $f(x) > f(1)$, то есть $5^x + 6^x > 11$;
• при $x < 1$ выполняется неравенство $f(x) < f(1)$, то есть $5^x + 6^x < 11$;
• при $x = 1$ выполняется равенство $f(x) = f(1)$, то есть $5^x + 6^x = 11$.

Исходное неравенство $5^x + 6^x \ge 11$ выполняется при $x \ge 1$.

Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

б) $3^{x-4} + 2^{x-2} \le 11$

Рассмотрим функцию $g(x) = 3^{x-4} + 2^{x-2}$. Эта функция определена для всех действительных чисел $x$.

Функции $y_1 = 3^{x-4}$ и $y_2 = 2^{x-2}$ являются показательными с основаниями 3 и 2 соответственно (больше 1), поэтому они обе строго возрастают на всей числовой оси. Их сумма, функция $g(x)$, также является строго возрастающей функцией.

Решим соответствующее уравнение $3^{x-4} + 2^{x-2} = 11$ методом подбора. Проверим целые значения $x$:

• при $x=4$: $3^{4-4} + 2^{4-2} = 3^0 + 2^2 = 1 + 4 = 5$. Это меньше 11.
• при $x=5$: $3^{5-4} + 2^{5-2} = 3^1 + 2^3 = 3 + 8 = 11$. Это корень уравнения.

Итак, мы нашли, что $g(5) = 11$.

Так как функция $g(x)$ строго возрастающая, то:

• при $x < 5$ выполняется неравенство $g(x) < g(5)$, то есть $3^{x-4} + 2^{x-2} < 11$;
• при $x > 5$ выполняется неравенство $g(x) > g(5)$, то есть $3^{x-4} + 2^{x-2} > 11$;
• при $x = 5$ выполняется равенство $g(x) = g(5)$, то есть $3^{x-4} + 2^{x-2} = 11$.

Таким образом, неравенство $3^{x-4} + 2^{x-2} \le 11$ справедливо для всех $x \le 5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 5]$.