Номер 11.65, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.65, страница 71.

11.65. a) $2^x = -2x + 8;$

б) $(\frac{1}{3})^x = x + 11;$

В) $3^x = -x + 1;$

Г) $(0,2)^x = x + 6.$

а) Рассмотрим уравнение $2^x = -2x + 8$. Данное уравнение является трансцендентным, и для его решения проанализируем функции, стоящие в левой и правой частях.
Пусть $f(x) = 2^x$ и $g(x) = -2x + 8$.
Функция $f(x) = 2^x$ является показательной с основанием $a=2$, где $a > 1$. Следовательно, эта функция является строго возрастающей на всей своей области определения.
Функция $g(x) = -2x + 8$ является линейной с угловым коэффициентом $k=-2$, где $k < 0$. Следовательно, эта функция является строго убывающей.
Поскольку строго возрастающая функция и строго убывающая функция могут пересекаться не более одного раза, данное уравнение имеет не более одного корня.
Найдем этот корень методом подбора, проверяя целые числа.
При $x=2$:
Левая часть: $2^2 = 4$.
Правая часть: $-2(2) + 8 = -4 + 8 = 4$.
Поскольку $4=4$, значение $x=2$ является корнем уравнения. Так как корень единственный, это и есть решение.
Ответ: $x=2$.

б) Рассмотрим уравнение $(\frac{1}{3})^x = x + 11$.
Пусть $f(x) = (\frac{1}{3})^x$ и $g(x) = x + 11$.
Функция $f(x) = (\frac{1}{3})^x$ является показательной с основанием $a=\frac{1}{3}$, где $0 < a < 1$. Следовательно, эта функция является строго убывающей.
Функция $g(x) = x + 11$ является линейной с угловым коэффициентом $k=1$, где $k > 0$. Следовательно, эта функция является строго возрастающей.
Поскольку одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Значит, уравнение имеет не более одного корня.
Найдем корень подбором.
При $x=-2$:
Левая часть: $(\frac{1}{3})^{-2} = (3^{-1})^{-2} = 3^2 = 9$.
Правая часть: $-2 + 11 = 9$.
Поскольку $9=9$, $x=-2$ является корнем уравнения. В силу единственности, это и есть окончательное решение.
Ответ: $x=-2$.

в) Рассмотрим уравнение $3^x = -x + 1$.
Пусть $f(x) = 3^x$ и $g(x) = -x + 1$.
Функция $f(x) = 3^x$ — показательная с основанием $a=3 > 1$, следовательно, она строго возрастающая.
Функция $g(x) = -x + 1$ — линейная с угловым коэффициентом $k=-1 < 0$, следовательно, она строго убывающая.
Строго возрастающая и строго убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Таким образом, уравнение имеет не более одного корня.
Найдем корень подбором.
При $x=0$:
Левая часть: $3^0 = 1$.
Правая часть: $-0 + 1 = 1$.
Равенство $1=1$ выполняется, значит $x=0$ является единственным корнем уравнения.
Ответ: $x=0$.

г) Рассмотрим уравнение $(0,2)^x = x + 6$.
Пусть $f(x) = (0,2)^x$ и $g(x) = x + 6$.
Функция $f(x) = (0,2)^x$ является показательной с основанием $a=0,2$, где $0 < a < 1$. Следовательно, она строго убывающая.
Функция $g(x) = x + 6$ является линейной с угловым коэффициентом $k=1 > 0$. Следовательно, она строго возрастающая.
Так как одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, уравнение может иметь не более одного корня.
Найдем этот корень подбором.
При $x=-1$:
Левая часть: $(0,2)^{-1} = (\frac{1}{5})^{-1} = 5$.
Правая часть: $-1 + 6 = 5$.
Равенство $5=5$ верно, следовательно, $x=-1$ является единственным решением уравнения.
Ответ: $x=-1$.