Номер 11.62, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.62, страница 70.

11.62. а) $(\frac{1}{3})^x \geq 81;$

б) $15^x < \frac{1}{225};$

в) $(\frac{2}{7})^x \leq \frac{343}{8};$

г) $2^x > \frac{1}{256}.$

а) Чтобы решить показательное неравенство $(\frac{1}{3})^x \ge 81$, приведем обе его части к одному основанию. Основание в левой части равно $\frac{1}{3}$. Число 81 в правой части можно представить как степень числа 3, а затем как степень числа $\frac{1}{3}$.
$81 = 3^4 = (\frac{1}{3})^{-4}$.
Подставим это в исходное неравенство:
$(\frac{1}{3})^x \ge (\frac{1}{3})^{-4}$.
Так как основание степени $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.
$x \le -4$.
Решением неравенства является промежуток $(-\infty; -4]$.
Ответ: $x \le -4$.

б) Решим неравенство $15^x < \frac{1}{225}$.
Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 15. Мы знаем, что $225 = 15^2$.
Следовательно, $\frac{1}{225} = \frac{1}{15^2} = 15^{-2}$.
Получаем неравенство:
$15^x < 15^{-2}$.
Так как основание степени $a = 15$ больше единицы ($a > 1$), то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.
$x < -2$.
Решением неравенства является промежуток $(-\infty; -2)$.
Ответ: $x < -2$.

в) Решим неравенство $(\frac{2}{7})^x \le \frac{343}{8}$.
Приведем обе части к одному основанию. Заметим, что $343 = 7^3$ и $8 = 2^3$.
Тогда правую часть можно записать так: $\frac{343}{8} = \frac{7^3}{2^3} = (\frac{7}{2})^3$.
Чтобы привести к основанию $\frac{2}{7}$, воспользуемся свойством степени $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$:
$(\frac{7}{2})^3 = (\frac{1}{\frac{2}{7}})^3 = ((\frac{2}{7})^{-1})^3 = (\frac{2}{7})^{-3}$.
Неравенство принимает вид:
$(\frac{2}{7})^x \le (\frac{2}{7})^{-3}$.
Так как основание степени $a = \frac{2}{7}$ находится в интервале $(0; 1)$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.
$x \ge -3$.
Решением неравенства является промежуток $[-3; +\infty)$.
Ответ: $x \ge -3$.

г) Решим неравенство $2^x > \frac{1}{256}$.
Приведем правую часть к основанию 2. Найдем степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 256:
$2^8 = 256$.
Следовательно, $\frac{1}{256} = \frac{1}{2^8} = 2^{-8}$.
Подставим это в исходное неравенство:
$2^x > 2^{-8}$.
Так как основание степени $a=2$ больше единицы ($a > 1$), то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.
$x > -8$.
Решением неравенства является промежуток $(-8; +\infty)$.
Ответ: $x > -8$.