Страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

12.22. а) $2 \cdot 4^x - 5 \cdot 2^x + 2 = 0;$

б) $3 \cdot 9^x - 10 \cdot 3^x + 3 = 0;$

в) $4 \cdot \left(\frac{1}{16}\right)^x + 15 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x - 4 = 0;$

г) $(0,25)^x + 1,5(0,5)^x - 1 = 0.$

а) $2 \cdot 4^x - 5 \cdot 2^x + 2 = 0$

Данное уравнение является показательным уравнением, сводящимся к квадратному. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Подставим $t$ в исходное уравнение и получим квадратное уравнение:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим это уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня ($t_1=2$ и $t_2=\frac{1}{2}$) удовлетворяют условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену:

1) Если $t = 2$, то $2^x = 2$. Отсюда $2^x = 2^1$, следовательно, $x_1 = 1$.

2) Если $t = \frac{1}{2}$, то $2^x = \frac{1}{2}$. Отсюда $2^x = 2^{-1}$, следовательно, $x_2 = -1$.

Ответ: $x=1, x=-1$.

б) $3 \cdot 9^x - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$

Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Это позволяет свести уравнение к квадратному.

Произведем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

Уравнение примет вид:

$3t^2 - 10t + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$t_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

Выполним обратную замену.

1) При $t = 3$ имеем $3^x = 3$, то есть $3^x = 3^1$, откуда $x_1 = 1$.

2) При $t = \frac{1}{3}$ имеем $3^x = \frac{1}{3}$, то есть $3^x = 3^{-1}$, откуда $x_2 = -1$.

Ответ: $x=1, x=-1$.

в) $4 \cdot \left(\frac{1}{16}\right)^x + 15 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x - 4 = 0$

Заметим, что $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{4}\right)^2$, поэтому $\left(\frac{1}{16}\right)^x = \left(\left(\frac{1}{4}\right)^2\right)^x = \left(\left(\frac{1}{4}\right)^x\right)^2$.

Введем замену: пусть $t = \left(\frac{1}{4}\right)^x$. Условие для новой переменной: $t>0$.

Получаем квадратное уравнение:

$4t^2 + 15t - 4 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = 15^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289$

Найдем корни:

$t_1 = \frac{-15 + \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{-15 + 17}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$t_2 = \frac{-15 - \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{-15 - 17}{8} = \frac{-32}{8} = -4$

Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому является посторонним.

Рассмотрим единственный подходящий корень $t_1 = \frac{1}{4}$.

Вернемся к переменной $x$:

$\left(\frac{1}{4}\right)^x = \frac{1}{4}$

$\left(\frac{1}{4}\right)^x = \left(\frac{1}{4}\right)^1$

Отсюда $x = 1$.

Ответ: $x=1$.

г) $(0,25)^x + 1,5 \cdot (0,5)^x - 1 = 0$

Заметим, что $0,25 = (0,5)^2$, поэтому $(0,25)^x = ((0,5)^2)^x = ((0,5)^x)^2$.

Сделаем замену. Пусть $t = (0,5)^x$, при этом $t > 0$.

Получаем уравнение: $t^2 + 1,5t - 1 = 0$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$2t^2 + 3t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Корни:

$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t>0$, отбрасываем его как посторонний.

Остается корень $t_1 = \frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену:

$(0,5)^x = \frac{1}{2}$

Поскольку $0,5 = \frac{1}{2}$, имеем $\left(\frac{1}{2}\right)^x = \left(\frac{1}{2}\right)^1$.

Следовательно, $x = 1$.

Ответ: $x=1$.

○12.23.

a) $4 \cdot \left(\frac{1}{16}\right)^x - 17 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x + 4 = 0;$

б) $0,01^x + 9,9 \cdot (0,1)^x - 1 = 0;$

в) $3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x + 7 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x - 6 = 0;$

г) $5 \cdot \left(\frac{4}{25}\right)^x + 23 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x - 10 = 0.$

а) $4 \cdot \left(\frac{1}{16}\right)^x - 17 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x + 4 = 0$
Данное уравнение является показательным. Заметим, что основание $\frac{1}{16}$ можно представить как квадрат основания $\frac{1}{4}$, то есть $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{4}\right)^2$.
Перепишем уравнение в виде:
$4 \cdot \left(\left(\frac{1}{4}\right)^2\right)^x - 17 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x + 4 = 0$
$4 \cdot \left(\left(\frac{1}{4}\right)^x\right)^2 - 17 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x + 4 = 0$
Это уравнение сводится к квадратному с помощью замены переменной. Пусть $t = \left(\frac{1}{4}\right)^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, должно выполняться условие $t > 0$.
Подставим $t$ в уравнение:
$4t^2 - 17t + 4 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225$
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{17 - \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$t_2 = \frac{17 + \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$
Оба корня ($t_1 = \frac{1}{4}$ и $t_2 = 4$) положительны, значит, оба подходят.
Выполним обратную замену:
1) $\left(\frac{1}{4}\right)^x = t_1 = \frac{1}{4} \implies \left(\frac{1}{4}\right)^x = \left(\frac{1}{4}\right)^1 \implies x_1 = 1$
2) $\left(\frac{1}{4}\right)^x = t_2 = 4 \implies (4^{-1})^x = 4^1 \implies 4^{-x} = 4^1 \implies -x = 1 \implies x_2 = -1$
Ответ: $-1; 1$.

б) $0,01^x + 9,9 \cdot (0,1)^x - 1 = 0$
Заметим, что $0,01 = (0,1)^2$. Перепишем уравнение:
$\left((0,1)^2\right)^x + 9,9 \cdot (0,1)^x - 1 = 0$
$\left((0,1)^x\right)^2 + 9,9 \cdot (0,1)^x - 1 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = (0,1)^x$, при этом $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^2 + 9,9t - 1 = 0$
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на 10:
$10t^2 + 99t - 10 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 99^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-10) = 9801 + 400 = 10201 = 101^2$.
Найдем корни:
$t_1 = \frac{-99 - 101}{2 \cdot 10} = \frac{-200}{20} = -10$
$t_2 = \frac{-99 + 101}{2 \cdot 10} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} = 0,1$
Корень $t_1 = -10$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому является посторонним.
Вернемся к исходной переменной для $t_2 = 0,1$:
$(0,1)^x = 0,1 \implies (0,1)^x = (0,1)^1 \implies x = 1$
Ответ: $1$.

в) $3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x + 7 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x - 6 = 0$
Заметим, что $\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$. Перепишем уравнение:
$3 \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^x + 7 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x - 6 = 0$
$3 \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^x\right)^2 + 7 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x - 6 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$, где $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$3t^2 + 7t - 6 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.
Найдем корни:
$t_1 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$
$t_2 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Корень $t_1 = -3$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому является посторонним.
Выполним обратную замену для $t_2 = \frac{2}{3}$:
$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2}{3} \implies \left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^1 \implies x = 1$
Ответ: $1$.

г) $5 \cdot \left(\frac{4}{25}\right)^x + 23 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x - 10 = 0$
Заметим, что $\frac{4}{25} = \left(\frac{2}{5}\right)^2$. Перепишем уравнение:
$5 \cdot \left(\left(\frac{2}{5}\right)^2\right)^x + 23 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x - 10 = 0$
$5 \cdot \left(\left(\frac{2}{5}\right)^x\right)^2 + 23 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x - 10 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{2}{5}\right)^x$, где $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$5t^2 + 23t - 10 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 23^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-10) = 529 + 200 = 729 = 27^2$.
Найдем корни:
$t_1 = \frac{-23 - 27}{2 \cdot 5} = \frac{-50}{10} = -5$
$t_2 = \frac{-23 + 27}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
Корень $t_1 = -5$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому является посторонним.
Выполним обратную замену для $t_2 = \frac{2}{5}$:
$\left(\frac{2}{5}\right)^x = \frac{2}{5} \implies \left(\frac{2}{5}\right)^x = \left(\frac{2}{5}\right)^1 \implies x = 1$
Ответ: $1$.

12.24. а) $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x - 88 = 0;$

б) $(\frac{1}{2})^{2x} - (\frac{1}{2})^{x-2} - 32 = 0;$

в) $5^{2x+1} - 26 \cdot 5^x + 5 = 0;$

г) $(\frac{1}{3})^{2x} + (\frac{1}{3})^{x-2} - 162 = 0.$

а) $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x - 88 = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{mn} = (a^m)^n$:

$2^1 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^x - 88 = 0$

$2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x - 88 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$2t^2 - 5t - 88 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-88) = 25 + 704 = 729 = 27^2$.

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 27}{2 \cdot 2} = \frac{-22}{4} = -5.5$.

Этот корень не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 27}{2 \cdot 2} = \frac{32}{4} = 8$.

Этот корень удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$2^x = 8$

$2^x = 2^3$

$x = 3$

Ответ: $3$.

б) $(\frac{1}{2})^{2x} - (\frac{1}{2})^{x-2} - 32 = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$((\frac{1}{2})^x)^2 - (\frac{1}{2})^x \cdot (\frac{1}{2})^{-2} - 32 = 0$

$((\frac{1}{2})^x)^2 - (\frac{1}{2})^x \cdot 4 - 32 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{2})^x$. Так как $t$ - значение показательной функции, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 4t - 32 = 0$

Решим уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $4$, произведение равно $-32$. Корни: $t_1 = 8$ и $t_2 = -4$.

Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Корень $t_1 = 8$ удовлетворяет условию $t>0$.

Выполним обратную замену:

$(\frac{1}{2})^x = 8$

$2^{-x} = 2^3$

$-x = 3$

$x = -3$

Ответ: $-3$.

в) $5^{2x+1} - 26 \cdot 5^x + 5 = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$5^1 \cdot 5^{2x} - 26 \cdot 5^x + 5 = 0$

$5 \cdot (5^x)^2 - 26 \cdot 5^x + 5 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = 5^x$, при этом $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$5t^2 - 26t + 5 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$.

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1) $5^x = t_1 = \frac{1}{5}$

$5^x = 5^{-1}$

$x_1 = -1$

2) $5^x = t_2 = 5$

$5^x = 5^1$

$x_2 = 1$

Ответ: $-1; 1$.

г) $(\frac{1}{3})^{2x} + (\frac{1}{3})^{x-2} - 162 = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$((\frac{1}{3})^x)^2 + (\frac{1}{3})^x \cdot (\frac{1}{3})^{-2} - 162 = 0$

$((\frac{1}{3})^x)^2 + (\frac{1}{3})^x \cdot 9 - 162 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{3})^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 9t - 162 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 81 + 648 = 729 = 27^2$.

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 27}{2} = \frac{-36}{2} = -18$.

Этот корень не удовлетворяет условию $t > 0$.

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 27}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

Этот корень удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$(\frac{1}{3})^x = 9$

$3^{-x} = 3^2$

$-x = 2$

$x = -2$

Ответ: $-2$.

○12.25.

a) $(\sqrt{7})^{2x+2} - 50 \cdot (\sqrt{7})^x + 7 = 0;$

б) $(\sqrt{6})^{2x+2} - 37 \cdot (\sqrt{6})^x + 6 = 0.$

а) Исходное уравнение: $(\sqrt{7})^{2x+2} - 50 \cdot (\sqrt{7})^x + 7 = 0$.
Преобразуем первый член уравнения, используя свойства степеней $a^{m+n}=a^m \cdot a^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(\sqrt{7})^{2x+2} = (\sqrt{7})^{2x} \cdot (\sqrt{7})^2 = ((\sqrt{7})^x)^2 \cdot 7 = 7 \cdot ((\sqrt{7})^x)^2$.
Подставим это выражение обратно в уравнение:
$7 \cdot ((\sqrt{7})^x)^2 - 50 \cdot (\sqrt{7})^x + 7 = 0$.
Данное уравнение является квадратным относительно $(\sqrt{7})^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\sqrt{7})^x$. Поскольку основание степени $\sqrt{7} > 0$, то значение $t$ должно быть строго положительным, то есть $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$7t^2 - 50t + 7 = 0$.
Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 2500 - 196 = 2304$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48$.
Найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 + 48}{2 \cdot 7} = \frac{98}{14} = 7$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 - 48}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$.
Оба корня, $t_1=7$ и $t_2=1/7$, положительны, следовательно, удовлетворяют условию $t>0$.
Теперь выполним обратную замену для каждого корня:
1) Если $t = 7$, то $(\sqrt{7})^x = 7$.
Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 7: $(7^{1/2})^x = 7^1$, что равносильно $7^{x/2} = 7^1$.
Приравнивая показатели степеней, получаем: $x/2 = 1$, откуда $x = 2$.
2) Если $t = 1/7$, то $(\sqrt{7})^x = 1/7$.
Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 7: $(7^{1/2})^x = 7^{-1}$, что равносильно $7^{x/2} = 7^{-1}$.
Приравнивая показатели степеней, получаем: $x/2 = -1$, откуда $x = -2$.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $-2; 2$.

б) Исходное уравнение: $(\sqrt{6})^{2x+2} - 37 \cdot (\sqrt{6})^x + 6 = 0$.
Аналогично пункту а), преобразуем первый член уравнения:
$(\sqrt{6})^{2x+2} = (\sqrt{6})^{2x} \cdot (\sqrt{6})^2 = ((\sqrt{6})^x)^2 \cdot 6 = 6 \cdot ((\sqrt{6})^x)^2$.
Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$6 \cdot ((\sqrt{6})^x)^2 - 37 \cdot (\sqrt{6})^x + 6 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = (\sqrt{6})^x$. Так как $\sqrt{6} > 0$, то $y > 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $y$:
$6y^2 - 37y + 6 = 0$.
Решим его с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-37)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 1369 - 144 = 1225$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$.
Найдем корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{37 + 35}{2 \cdot 6} = \frac{72}{12} = 6$.
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{37 - 35}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
Оба корня, $y_1=6$ и $y_2=1/6$, положительны и удовлетворяют условию $y>0$.
Выполним обратную замену:
1) Если $y = 6$, то $(\sqrt{6})^x = 6$.
Перепишем в виде степеней с основанием 6: $(6^{1/2})^x = 6^1$, или $6^{x/2} = 6^1$.
Отсюда $x/2 = 1$, что дает $x = 2$.
2) Если $y = 1/6$, то $(\sqrt{6})^x = 1/6$.
Перепишем в виде степеней с основанием 6: $(6^{1/2})^x = 6^{-1}$, или $6^{x/2} = 6^{-1}$.
Отсюда $x/2 = -1$, что дает $x = -2$.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $-2; 2$.

12.26. a) $3^{x-1} - \left(\frac{1}{3}\right)^{3-x} = \sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}} + 207;$

б) $\sqrt[4]{16^{x+1}} + 188 = 8 \cdot 2^x - 0,5^{3-x}.$

a) $3^{x-1} - \left(\frac{1}{3}\right)^{3-x} = \sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}} + 207$

Преобразуем каждый член уравнения, приведя все степени к основанию 3.
Второй член в левой части: $(\frac{1}{3})^{3-x} = (3^{-1})^{3-x} = 3^{-1 \cdot (3-x)} = 3^{x-3}$.
Первый член в правой части: $\sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}} = \sqrt{\frac{1}{(3^2)^{4-x}}} = \sqrt{\frac{1}{3^{2(4-x)}}} = \sqrt{3^{-(8-2x)}} = (3^{2x-8})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{2x-8}{2}} = 3^{x-4}$.
Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:$3^{x-1} - 3^{x-3} = 3^{x-4} + 207$.
Вынесем за скобки общий множитель $3^{x-4}$:$3^{x-4} \cdot 3^3 - 3^{x-4} \cdot 3^1 = 3^{x-4} + 207$.
$27 \cdot 3^{x-4} - 3 \cdot 3^{x-4} = 3^{x-4} + 207$.
Перенесем все члены с $3^{x-4}$ в левую часть:$27 \cdot 3^{x-4} - 3 \cdot 3^{x-4} - 3^{x-4} = 207$.
$(27 - 3 - 1) \cdot 3^{x-4} = 207$.
$23 \cdot 3^{x-4} = 207$.
$3^{x-4} = \frac{207}{23}$.
$3^{x-4} = 9$.
$3^{x-4} = 3^2$.
Приравниваем показатели степени:$x - 4 = 2$.
$x = 6$.

Ответ: $x=6$.

б) $\sqrt[4]{16^{x+1} + 188} = 8 \cdot 2^x - 0,5^{3-x}$

Преобразуем обе части уравнения, приведя показательные функции к основанию 2.
Левая часть: $\sqrt[4]{16^{x+1} + 188} = \sqrt[4]{(2^4)^{x+1} + 188} = \sqrt[4]{2^{4(x+1)} + 188} = \sqrt[4]{2^{4x+4} + 188}$.
Правая часть: $8 \cdot 2^x - 0,5^{3-x} = 2^3 \cdot 2^x - (\frac{1}{2})^{3-x} = 2^{x+3} - (2^{-1})^{3-x} = 2^{x+3} - 2^{-(3-x)} = 2^{x+3} - 2^{x-3}$.
Упростим правую часть: $2^{x+3} - 2^{x-3} = 2^x \cdot 2^3 - 2^x \cdot 2^{-3} = 2^x(8 - \frac{1}{8}) = \frac{63}{8} \cdot 2^x$.
Уравнение принимает вид:$\sqrt[4]{2^{4x+4} + 188} = \frac{63}{8} \cdot 2^x$.
Сделаем замену $y = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то $y > 0$.Левая часть: $\sqrt[4]{2^{4x} \cdot 2^4 + 188} = \sqrt[4]{(2^x)^4 \cdot 16 + 188} = \sqrt[4]{16y^4 + 188}$.
Уравнение с новой переменной:$\sqrt[4]{16y^4 + 188} = \frac{63}{8}y$.
Так как $y > 0$, обе части уравнения положительны. Возведем обе части в 4-ю степень:$16y^4 + 188 = \left(\frac{63}{8}\right)^4 y^4$.
$188 = \left(\frac{63^4}{8^4} - 16\right)y^4$.
$188 = \left(\frac{63^4 - 16 \cdot 8^4}{8^4}\right)y^4$.
Вычислим числовые значения: $63^4 = 15752961$, $8^4 = 4096$, $16 \cdot 8^4 = 2^4 \cdot (2^3)^4 = 2^{16} = 65536$.
$188 = \left(\frac{15752961 - 65536}{4096}\right)y^4$.
$188 = \frac{15687425}{4096}y^4$.
Отсюда находим $y^4$:$y^4 = \frac{188 \cdot 4096}{15687425} = \frac{770048}{15687425}$.
Так как $y=2^x$, то $y^4 = (2^x)^4 = 2^{4x}$.
$2^{4x} = \frac{770048}{15687425}$.
Логарифмируем обе части по основанию 2:$4x = \log_2\left(\frac{770048}{15687425}\right)$.
$x = \frac{1}{4}\log_2\left(\frac{770048}{15687425}\right)$.

Ответ: $x = \frac{1}{4}\log_2\left(\frac{770048}{15687425}\right)$.

12.27. a) $2^{2x^2+2x-6} - 2^{7-2x-x^2} = 3,5;$

б) $3^{2x^2+x} = 26 + 3^{3-x-2x^2}.$

а) $2^{x^2 + 2x - 6} - 2^{7 - 2x - x^2} = 3,5$

Заметим, что показатели степеней связаны между собой. Преобразуем показатель второго члена: $7 - 2x - x^2 = 7 - (x^2 + 2x)$.

Введем замену. Пусть $y = x^2 + 2x$. Тогда исходное уравнение примет вид:

$2^{y - 6} - 2^{7 - y} = 3,5$

Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, перепишем уравнение:

$\frac{2^y}{2^6} - \frac{2^7}{2^y} = 3,5$

$\frac{2^y}{64} - \frac{128}{2^y} = \frac{7}{2}$

Сделаем еще одну замену. Пусть $t = 2^y$. Так как основание степени $2 > 0$, то $t$ должно быть положительным, $t > 0$.

$\frac{t}{64} - \frac{128}{t} = \frac{7}{2}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $64t$, чтобы избавиться от дробей:

$t \cdot t - 128 \cdot 64 = \frac{7}{2} \cdot 64t$

$t^2 - 8192 = 224t$

$t^2 - 224t - 8192 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-224)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8192) = 50176 + 32768 = 82944$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{82944} = 288$.

Теперь найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-(-224) + 288}{2 \cdot 1} = \frac{224 + 288}{2} = \frac{512}{2} = 256$

$t_2 = \frac{-(-224) - 288}{2 \cdot 1} = \frac{224 - 288}{2} = \frac{-64}{2} = -32$

Согласно условию $t > 0$, корень $t_2 = -32$ является посторонним. Таким образом, единственное решение для $t$ это $t_1 = 256$.

Вернемся к замене $t = 2^y$:

$2^y = 256$

Так как $256 = 2^8$, получаем:

$2^y = 2^8 \implies y = 8$

Теперь вернемся к первой замене $y = x^2 + 2x$:

$x^2 + 2x = 8$

$x^2 + 2x - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-8$. Этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $-4$.

$x_1 = 2$, $x_2 = -4$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -4$.

б) $3^{2x^2 + x} = 26 + 3^{3 - x - 2x^2}$

Преобразуем показатель степени у второго слагаемого в правой части: $3 - x - 2x^2 = 3 - (2x^2 + x)$.

Введем замену. Пусть $y = 2x^2 + x$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$3^y = 26 + 3^{3-y}$

Используя свойства степеней, получаем:

$3^y = 26 + \frac{3^3}{3^y}$

$3^y = 26 + \frac{27}{3^y}$

Введем новую переменную. Пусть $t = 3^y$. Так как $3 > 0$, то $t > 0$.

$t = 26 + \frac{27}{t}$

Умножим обе части уравнения на $t$ (поскольку $t \neq 0$):

$t^2 = 26t + 27$

$t^2 - 26t - 27 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $t_1+t_2 = 26$, а произведение $t_1 \cdot t_2 = -27$.

Корнями уравнения являются $t_1 = 27$ и $t_2 = -1$.

Поскольку по замене $t > 0$, корень $t_2 = -1$ является посторонним. Следовательно, $t = 27$.

Выполним обратную замену $t = 3^y$:

$3^y = 27$

$3^y = 3^3$

$y = 3$

Теперь выполним вторую обратную замену $y = 2x^2 + x$:

$2x^2 + x = 3$

$2x^2 + x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$

$\sqrt{D} = 5$

Найдем корни для $x$:

$x_1 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1,5$

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1,5$.