Страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

13.7. a) $2\sqrt{2} \cdot 2^{x-3} \ge \frac{1}{2}$;

B) $\left(\frac{1}{7}\right)^{3x+4} \cdot 7\sqrt{7} < \frac{1}{7}$;

б) $\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt{5} \le 5 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{2x-1}$;

г) $0,25 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{10-x} > 4\sqrt{64}$.

а) $2\sqrt{2} \cdot 2^{x-3} \ge \frac{1}{2}$

Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к степеням с одинаковым основанием. В данном случае удобнее всего использовать основание 2.

Преобразуем левую часть:

$2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$

Тогда вся левая часть неравенства будет равна:

$2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{x-3} = 2^{\frac{3}{2} + x - 3} = 2^{x - \frac{3}{2}}$

Преобразуем правую часть:

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$

Теперь неравенство выглядит так:

$2^{x - \frac{3}{2}} \ge 2^{-1}$

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x - \frac{3}{2} \ge -1$

$x \ge \frac{3}{2} - 1$

$x \ge \frac{1}{2}$

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}, +\infty)$

б) $\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt{5} \le 5 \cdot (\frac{1}{5})^{2x-1}$

Приведем обе части неравенства к степеням с основанием 5.

Преобразуем левую часть:

$\sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5^1 = 5$

$\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$

Вся левая часть: $5 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{1 + \frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$

Преобразуем правую часть:

$(\frac{1}{5})^{2x-1} = (5^{-1})^{2x-1} = 5^{-(2x-1)} = 5^{-2x+1}$

Вся правая часть: $5^1 \cdot 5^{-2x+1} = 5^{1-2x+1} = 5^{2-2x}$

Подставим преобразованные выражения в исходное неравенство:

$5^{\frac{3}{2}} \le 5^{2-2x}$

Так как основание степени $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\frac{3}{2} \le 2 - 2x$

$2x \le 2 - \frac{3}{2}$

$2x \le \frac{4}{2} - \frac{3}{2}$

$2x \le \frac{1}{2}$

$x \le \frac{1}{4}$

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{1}{4}]$

в) $(\frac{1}{7})^{3x+4} \cdot 7\sqrt{7} < \frac{1}{7}$

Приведем обе части неравенства к степеням с основанием 7.

Преобразуем левую часть:

$(\frac{1}{7})^{3x+4} = (7^{-1})^{3x+4} = 7^{-3x-4}$

$7\sqrt{7} = 7^1 \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 7^{1+\frac{1}{2}} = 7^{\frac{3}{2}}$

Вся левая часть: $7^{-3x-4} \cdot 7^{\frac{3}{2}} = 7^{-3x-4+\frac{3}{2}} = 7^{-3x-\frac{5}{2}}$

Преобразуем правую часть:

$\frac{1}{7} = 7^{-1}$

Получаем неравенство:

$7^{-3x-\frac{5}{2}} < 7^{-1}$

Так как основание степени $7 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$-3x - \frac{5}{2} < -1$

$-3x < \frac{5}{2} - 1$

$-3x < \frac{3}{2}$

При делении на отрицательное число (-3) знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{3}{2 \cdot (-3)}$

$x > -\frac{1}{2}$

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}, +\infty)$

г) $0,25 \cdot (\frac{1}{4})^{10-x} > 4\sqrt{64}$

Приведем обе части неравенства к степеням с основанием 4.

Преобразуем левую часть:

$0,25 = \frac{1}{4} = 4^{-1}$

$(\frac{1}{4})^{10-x} = (4^{-1})^{10-x} = 4^{-(10-x)} = 4^{x-10}$

Вся левая часть: $4^{-1} \cdot 4^{x-10} = 4^{-1+x-10} = 4^{x-11}$

Преобразуем правую часть:

$4\sqrt{64} = 4 \cdot 8 = 32$

Представим 32 как степень с основанием 4. Так как $32 = 2^5$ и $4=2^2$ (т.е. $2 = \sqrt{4} = 4^{\frac{1}{2}}$), то:

$32 = 2^5 = (4^{\frac{1}{2}})^5 = 4^{\frac{5}{2}}$

Теперь неравенство имеет вид:

$4^{x-11} > 4^{\frac{5}{2}}$

Так как основание степени $4 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x - 11 > \frac{5}{2}$

$x > 11 + \frac{5}{2}$

$x > \frac{22}{2} + \frac{5}{2}$

$x > \frac{27}{2}$

Ответ: $x \in (\frac{27}{2}, +\infty)$

13.8. a) $7^{x^2-5x} < \left(\frac{1}{7}\right)^6$;

В) $11^{2x^2+3x} \le 121$;

б) $0,6^{x^2-x} \ge \left(\frac{3}{5}\right)^6$;

г) $0,3^{x^2-10x} > \left(3\frac{1}{3}\right)^{24}$.

а) Дано неравенство $7^{x^2-5x} < \left(\frac{1}{7}\right)^6$.
Для решения приведем обе части неравенства к одному основанию $7$.
Правая часть: $\left(\frac{1}{7}\right)^6 = (7^{-1})^6 = 7^{-6}$.
Неравенство принимает вид: $7^{x^2-5x} < 7^{-6}$.
Так как основание $7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 5x < -6$
$x^2 - 5x + 6 < 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=2$ и $x_2=3$.
Парабола $y=x^2-5x+6$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $2 < x < 3$.
Ответ: $x \in (2; 3)$.

б) Дано неравенство $0,6^{x^2-x} \ge \left(\frac{3}{5}\right)^6$.
Приведем обе части к одному основанию. Заметим, что $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Неравенство принимает вид: $\left(\frac{3}{5}\right)^{x^2-x} \ge \left(\frac{3}{5}\right)^6$.
Так как основание $0 < \frac{3}{5} < 1$, показательная функция является убывающей. Это означает, что при переходе от степеней к их показателям знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - x \le 6$
$x^2 - x - 6 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=-2$ и $x_2=3$.
Парабола $y=x^2-x-6$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $-2 \le x \le 3$.
Ответ: $x \in [-2; 3]$.

в) Дано неравенство $11^{2x^2+3x} \le 121$.
Приведем обе части к основанию $11$. Правая часть: $121 = 11^2$.
Неравенство принимает вид: $11^{2x^2+3x} \le 11^2$.
Так как основание $11 > 1$, показательная функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:
$2x^2+3x \le 2$
$2x^2+3x-2 \le 0$
Найдем корни уравнения $2x^2+3x-2=0$ с помощью дискриминанта:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$
$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4}$
$x_1 = \frac{-3-5}{4} = -2$
$x_2 = \frac{-3+5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Парабола $y=2x^2+3x-2$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $-2 \le x \le \frac{1}{2}$.
Ответ: $x \in [-2; 0,5]$.

г) Дано неравенство $0,3^{x^2-10x} > \left(3\frac{1}{3}\right)^{24}$.
Приведем обе части к одному основанию. Левая часть: $0,3 = \frac{3}{10}$. Правая часть: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.
Заметим, что $\frac{10}{3} = \left(\frac{3}{10}\right)^{-1}$. Тогда правую часть можно преобразовать:
$\left(3\frac{1}{3}\right)^{24} = \left(\frac{10}{3}\right)^{24} = \left(\left(\frac{3}{10}\right)^{-1}\right)^{24} = \left(\frac{3}{10}\right)^{-24}$.
Неравенство принимает вид: $\left(\frac{3}{10}\right)^{x^2-10x} > \left(\frac{3}{10}\right)^{-24}$.
Так как основание $0 < \frac{3}{10} < 1$, показательная функция является убывающей, и знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - 10x < -24$
$x^2 - 10x + 24 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 10x + 24 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=4$ и $x_2=6$.
Парабола $y=x^2-10x+24$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $4 < x < 6$.
Ответ: $x \in (4; 6)$.

13.9. a) $\sqrt{2^{-1}} \cdot \sqrt{2^{x^2 - 7.5}} \ge 2^{-7};$

б) $0.9^{x^2 - 4x} < \left(\frac{10}{9}\right)^3;$

в) $14^{x^2 + x} \le 196;$

г) $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3x^2 - 13x} > 9.$

а)

Исходное неравенство: $\sqrt{2^{-1}} \cdot \sqrt{2^{x^2-7,5}} \ge 2^{-7}$.

Область допустимых значений (ОДЗ): подкоренные выражения должны быть неотрицательными. $2^{-1} = \frac{1}{2} > 0$. Выражение $2^{x^2-7,5}$ всегда положительно при любом действительном $x$, так как показательная функция с основанием больше 1 принимает только положительные значения. Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\sqrt{2^{-1} \cdot 2^{x^2-7,5}} = \sqrt{2^{-1 + x^2 - 7,5}} = \sqrt{2^{x^2 - 8,5}}$

Теперь представим корень в виде степени с рациональным показателем $\sqrt{a} = a^{1/2}$:

$\sqrt{2^{x^2 - 8,5}} = (2^{x^2 - 8,5})^{1/2} = 2^{\frac{x^2 - 8,5}{2}}$

Неравенство принимает вид:

$2^{\frac{x^2 - 8,5}{2}} \ge 2^{-7}$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$\frac{x^2 - 8,5}{2} \ge -7$

Умножим обе части на 2:

$x^2 - 8,5 \ge -14$

$x^2 \ge -14 + 8,5$

$x^2 \ge -5,5$

Квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Следовательно, неравенство $x^2 \ge -5,5$ выполняется для любых действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б)

Исходное неравенство: $0,9^{x^2-4x} < (\frac{10}{9})^3$.

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $0,9 = \frac{9}{10}$ и $\frac{10}{9} = (\frac{9}{10})^{-1}$.

Преобразуем правую часть:

$(\frac{10}{9})^3 = ((\frac{9}{10})^{-1})^3 = (\frac{9}{10})^{-3}$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{9}{10})^{x^2-4x} < (\frac{9}{10})^{-3}$

Так как основание степени $\frac{9}{10}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 4x > -3$

$x^2 - 4x + 3 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < 1$ или $x > 3$.

Ответ: $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

в)

Исходное неравенство: $14^{x^2+x} \le 196$.

Приведем обе части неравенства к основанию 14. Заметим, что $196 = 14^2$.

Неравенство принимает вид:

$14^{x^2+x} \le 14^2$

Так как основание степени $14 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x^2 + x \le 2$

$x^2 + x - 2 \le 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 + x - 2$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $-2 \le x \le 1$.

Ответ: $[-2; 1]$.

г)

Исходное неравенство: $(\frac{1}{\sqrt{3}})^{3x^2-13x} > 9$.

Приведем обе части неравенства к одному основанию, например, к основанию 3.

Преобразуем левую и правую части:

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{1/2}} = 3^{-1/2}$

$9 = 3^2$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$(3^{-1/2})^{3x^2-13x} > 3^2$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$3^{-\frac{1}{2}(3x^2-13x)} > 3^2$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$-\frac{1}{2}(3x^2-13x) > 2$

Умножим обе части на -2. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$3x^2 - 13x < -4$

$3x^2 - 13x + 4 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $3x^2 - 13x + 4 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121 = 11^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{13 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{13 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 11}{6} = \frac{24}{6} = 4$

Парабола $y = 3x^2 - 13x + 4$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $\frac{1}{3} < x < 4$.

Ответ: $(\frac{1}{3}; 4)$.

13.10. a) $2^x \cdot 3^x \ge 36^x \cdot \sqrt{6};$

б) $(\frac{1}{3})^x \cdot 4^x < (\frac{16}{9})^{x-1};$

в) $3^x \cdot 5^x \le 225^x \cdot \sqrt{15};$

г) $(\frac{2}{11})^x \cdot 3^x > (\frac{36}{121})^{2x+3}.$

а) $2^x \cdot 3^x \ge 36^x \cdot \sqrt{6}$

Сначала преобразуем обе части неравенства, чтобы привести их к одному основанию. Используем свойство степеней $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ для левой части:

$(2 \cdot 3)^x \ge 36^x \cdot \sqrt{6}$

$6^x \ge 36^x \cdot \sqrt{6}$

Теперь представим все члены в виде степени с основанием 6. Мы знаем, что $36 = 6^2$ и $\sqrt{6} = 6^{1/2}$.

$6^x \ge (6^2)^x \cdot 6^{1/2}$

Используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим правую часть:

$6^x \ge 6^{2x} \cdot 6^{1/2}$

$6^x \ge 6^{2x + 1/2}$

Так как основание степени $6 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x \ge 2x + \frac{1}{2}$

Решим полученное линейное неравенство:

$x - 2x \ge \frac{1}{2}$

$-x \ge \frac{1}{2}$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le -\frac{1}{2}$

Ответ: $(-\infty; -1/2]$.

б) $(\frac{1}{3})^x \cdot 4^x < (\frac{16}{9})^{x-1}$

Объединим степени в левой части неравенства:

$(\frac{1}{3} \cdot 4)^x < (\frac{16}{9})^{x-1}$

$(\frac{4}{3})^x < (\frac{16}{9})^{x-1}$

Приведем правую часть к основанию $\frac{4}{3}$. Так как $\frac{16}{9} = (\frac{4}{3})^2$, получаем:

$(\frac{4}{3})^x < ((\frac{4}{3})^2)^{x-1}$

Упростим показатель степени в правой части:

$(\frac{4}{3})^x < (\frac{4}{3})^{2(x-1)}$

$(\frac{4}{3})^x < (\frac{4}{3})^{2x-2}$

Основание степени $\frac{4}{3} > 1$, поэтому показательная функция возрастающая. Знак неравенства для показателей сохраняется:

$x < 2x - 2$

Решим линейное неравенство:

$2 < 2x - x$

$x > 2$

Ответ: $(2; +\infty)$.

в) $3^x \cdot 5^x \le 225^x \cdot \sqrt{15}$

Объединим степени в левой части:

$(3 \cdot 5)^x \le 225^x \cdot \sqrt{15}$

$15^x \le 225^x \cdot \sqrt{15}$

Приведем все члены к основанию 15. Мы знаем, что $225 = 15^2$ и $\sqrt{15} = 15^{1/2}$.

$15^x \le (15^2)^x \cdot 15^{1/2}$

Упростим правую часть:

$15^x \le 15^{2x} \cdot 15^{1/2}$

$15^x \le 15^{2x + 1/2}$

Так как основание $15 > 1$, показательная функция возрастает, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$x \le 2x + \frac{1}{2}$

Решим полученное неравенство:

$x - 2x \le \frac{1}{2}$

$-x \le \frac{1}{2}$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

$x \ge -\frac{1}{2}$

Ответ: $[-1/2; +\infty)$.

г) $(\frac{2}{11})^x \cdot 3^x > (\frac{36}{121})^{2x+3}$

Сгруппируем члены в левой части:

$(\frac{2}{11} \cdot 3)^x > (\frac{36}{121})^{2x+3}$

$(\frac{6}{11})^x > (\frac{36}{121})^{2x+3}$

Приведем обе части к одному основанию $\frac{6}{11}$. Заметим, что $\frac{36}{121} = (\frac{6}{11})^2$.

$(\frac{6}{11})^x > ((\frac{6}{11})^2)^{2x+3}$

Упростим показатель степени справа:

$(\frac{6}{11})^x > (\frac{6}{11})^{2(2x+3)}$

$(\frac{6}{11})^x > (\frac{6}{11})^{4x+6}$

Основание степени $\frac{6}{11}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому показательная функция является убывающей. Это значит, что при переходе к неравенству для показателей знак неравенства нужно изменить на противоположный:

$x < 4x + 6$

Решим это линейное неравенство:

$x - 4x < 6$

$-3x < 6$

Разделим обе части на -3 и изменим знак неравенства:

$x > -2$

Ответ: $(-2; +\infty)$.

13.11. a) $4^x \cdot \left(\frac{3}{8}\right)^x \le 2,25;$

б) $9^x \cdot \left(\frac{1}{18}\right)^x > 0,25;$

В) $5^x \cdot \left(\frac{2}{15}\right)^x \ge \frac{4}{9};$

Г) $3^x \cdot \left(\frac{1}{12}\right)^x < 0,0625.$

a) $4^x \cdot \left(\frac{3}{8}\right)^x \le 2,25$

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство степеней $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$\left(4 \cdot \frac{3}{8}\right)^x \le 2,25$

Упростим основание степени:

$\left(\frac{12}{8}\right)^x \le 2,25$

$\left(\frac{3}{2}\right)^x \le 2,25$

Представим правую часть неравенства в виде степени с таким же основанием. Для этого сначала переведем десятичную дробь $2,25$ в обыкновенную:

$2,25 = 2\frac{25}{100} = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$

Так как $\frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2$, неравенство можно переписать в виде:

$\left(\frac{3}{2}\right)^x \le \left(\frac{3}{2}\right)^2$

Основание степени $\frac{3}{2}$ больше 1, поэтому показательная функция $y = \left(\frac{3}{2}\right)^x$ является возрастающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x \le 2$

Ответ: $x \in (-\infty, 2]$.

б) $9^x \cdot \left(\frac{1}{18}\right)^x > 0,25$

Объединим множители в левой части под одной степенью:

$\left(9 \cdot \frac{1}{18}\right)^x > 0,25$

Упростим основание:

$\left(\frac{9}{18}\right)^x > 0,25$

$\left(\frac{1}{2}\right)^x > 0,25$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$:

$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$

Неравенство принимает вид:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x > \left(\frac{1}{2}\right)^2$

Основание степени $\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому показательная функция $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 2$

Ответ: $x \in (-\infty, 2)$.

в) $5^x \cdot \left(\frac{2}{15}\right)^x \ge \frac{4}{9}$

Преобразуем левую часть неравенства:

$\left(5 \cdot \frac{2}{15}\right)^x \ge \frac{4}{9}$

Упростим основание степени:

$\left(\frac{10}{15}\right)^x \ge \frac{4}{9}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^x \ge \frac{4}{9}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{2}{3}$:

$\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$

Неравенство принимает вид:

$\left(\frac{2}{3}\right)^x \ge \left(\frac{2}{3}\right)^2$

Основание степени $\frac{2}{3}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому показательная функция $y = \left(\frac{2}{3}\right)^x$ является убывающей. Следовательно, знак неравенства при переходе к показателям меняется на противоположный:

$x \le 2$

Ответ: $x \in (-\infty, 2]$.

г) $3^x \cdot \left(\frac{1}{12}\right)^x < 0,0625$

Преобразуем левую часть неравенства:

$\left(3 \cdot \frac{1}{12}\right)^x < 0,0625$

Упростим основание степени:

$\left(\frac{3}{12}\right)^x < 0,0625$

$\left(\frac{1}{4}\right)^x < 0,0625$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{1}{4}$. Сначала переведем десятичную дробь в обыкновенную:

$0,0625 = \frac{625}{10000} = \frac{125}{2000} = \frac{25}{400} = \frac{1}{16}$

Так как $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{4}\right)^2$, неравенство принимает вид:

$\left(\frac{1}{4}\right)^x < \left(\frac{1}{4}\right)^2$

Основание степени $\frac{1}{4}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому показательная функция $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 2$

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

13.12. a) $\sqrt[x]{3} \cdot \sqrt[x]{2} \ge \frac{\sqrt{6}}{36}$;

б) $\sqrt[x]{0,1} \cdot \sqrt[x]{0,4} \ge 0,0016$;

в) $\sqrt[x]{2} \cdot \sqrt[x]{5} \ge \sqrt[4]{10}$;

г) $\sqrt[x]{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt[x]{2} \le \frac{\sqrt[15]{4}}{\sqrt[15]{81}}$.

а)

Исходное неравенство: $\sqrt[x]{3} \cdot \sqrt[x]{2} \ge \frac{\sqrt{6}}{36}$.

По определению корня, показатель $x$ должен быть натуральным числом, большим или равным 2 ($x \in \mathbb{N}, x \ge 2$).

Упростим левую часть неравенства, используя свойство произведения корней с одинаковым показателем $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[x]{3 \cdot 2} = \sqrt[x]{6}$.

Теперь неравенство имеет вид: $\sqrt[x]{6} \ge \frac{\sqrt{6}}{36}$.

Для решения представим обе части неравенства в виде степеней с одинаковым основанием 6.

Левая часть: $\sqrt[x]{6} = 6^{1/x}$.

Правая часть: $\frac{\sqrt{6}}{36} = \frac{6^{1/2}}{6^2} = 6^{\frac{1}{2} - 2} = 6^{-3/2}$.

Получаем показательное неравенство: $6^{1/x} \ge 6^{-3/2}$.

Так как основание степени $6 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение показателя. Поэтому мы можем сравнить показатели, сохранив знак неравенства:

$\frac{1}{x} \ge -\frac{3}{2}$.

Из области определения $x \ge 2$, следует, что $x$ — положительное число. Тогда $\frac{1}{x}$ также является положительным числом. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного, поэтому неравенство $\frac{1}{x} \ge -\frac{3}{2}$ справедливо для всех $x$ из области определения.

Ответ: $x \in \mathbb{N}, x \ge 2$ (или $x \in \{2, 3, 4, ...\}$).

б)

Исходное неравенство: $\sqrt[x]{0,1} \cdot \sqrt[x]{0,4} \ge 0,0016$.

Область определения $x \in \mathbb{N}, x \ge 2$.

Упростим левую часть: $\sqrt[x]{0,1 \cdot 0,4} = \sqrt[x]{0,04}$.

Неравенство принимает вид: $\sqrt[x]{0,04} \ge 0,0016$.

Представим обе части в виде степеней с одним основанием. Заметим, что $0,04 = 0,2^2$ и $0,0016 = 16 \cdot 10^{-4} = (2 \cdot 10^{-1})^4 = 0,2^4$.

Левая часть: $\sqrt[x]{0,04} = \sqrt[x]{(0,2)^2} = (0,2)^{2/x}$.

Получаем неравенство: $(0,2)^{2/x} \ge (0,2)^4$.

Так как основание степени $0,2$ находится в интервале $(0, 1)$, показательная функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение показателя. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{2}{x} \le 4$.

Так как по области определения $x$ — положительное число, мы можем умножить обе части неравенства на $x$, не меняя знака:

$2 \le 4x$

$x \ge \frac{2}{4}$

$x \ge \frac{1}{2}$.

Совмещая полученное условие $x \ge 1/2$ с областью определения $x \in \mathbb{N}, x \ge 2$, мы видим, что решением являются все натуральные числа $x \ge 2$.

Ответ: $x \in \mathbb{N}, x \ge 2$.

в)

Исходное неравенство: $\sqrt[x]{2} \cdot \sqrt[x]{5} \ge \sqrt[4]{10}$.

Область определения $x \in \mathbb{N}, x \ge 2$.

Упростим левую часть: $\sqrt[x]{2 \cdot 5} = \sqrt[x]{10}$.

Неравенство принимает вид: $\sqrt[x]{10} \ge \sqrt[4]{10}$.

Представим обе части в виде степеней с основанием 10:

$10^{1/x} \ge 10^{1/4}$.

Так как основание $10 > 1$, показательная функция является возрастающей. Сохраняем знак неравенства для показателей:

$\frac{1}{x} \ge \frac{1}{4}$.

Поскольку $x \ge 2$, обе части неравенства положительны. Мы можем "перевернуть" дроби, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le 4$.

Учитывая область определения $x \in \mathbb{N}, x \ge 2$, получаем конечный набор целочисленных решений: $x=2, 3, 4$.

Ответ: $x \in \{2, 3, 4\}$.

г)

Исходное неравенство: $\sqrt[x]{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt[x]{2} \le \frac{\sqrt[15]{4}}{\sqrt[15]{81}}$.

Область определения $x \in \mathbb{N}, x \ge 2$.

Упростим обе части неравенства.

Левая часть: $\sqrt[x]{\frac{1}{9} \cdot 2} = \sqrt[x]{\frac{2}{9}}$.

Правая часть: $\frac{\sqrt[15]{4}}{\sqrt[15]{81}} = \sqrt[15]{\frac{4}{81}}$.

Неравенство принимает вид: $\sqrt[x]{\frac{2}{9}} \le \sqrt[15]{\frac{4}{81}}$.

Чтобы решить это неравенство, приведем обе части к одному основанию. Заметим, что подкоренное выражение в правой части является квадратом подкоренного выражения в левой: $\frac{4}{81} = (\frac{2}{9})^2$.

Правая часть: $\sqrt[15]{\frac{4}{81}} = \sqrt[15]{(\frac{2}{9})^2} = (\frac{2}{9})^{2/15}$.

Левая часть: $\sqrt[x]{\frac{2}{9}} = (\frac{2}{9})^{1/x}$.

Получаем показательное неравенство: $(\frac{2}{9})^{1/x} \le (\frac{2}{9})^{2/15}$.

Основание степени $\frac{2}{9}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:

$\frac{1}{x} \ge \frac{2}{15}$.

Так как $x \ge 2$, обе части неравенства положительны. Умножим обе части на $15x$ (что является положительным числом):

$15 \ge 2x$

$x \le \frac{15}{2}$

$x \le 7,5$.

С учетом области определения $x \in \mathbb{N}, x \ge 2$, получаем множество натуральных решений:

Ответ: $x \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.

13.13. a) $5^{x-1} \cdot 2^{x+2} > 8 \cdot 10^{x^2-3x+2}$,

б) $3^{2x+1} \cdot 2^{2x-3} < 81 \cdot 6^{1-2x^2}$.

а) $5^{x-1} \cdot 2^{x+2} > 8 \cdot 10^{x^2-3x+2}$

Преобразуем неравенство, приведя все степени к основаниям 2 и 5. Заметим, что $10 = 2 \cdot 5$ и $8 = 2^3$.

$5^{x-1} \cdot 2^{x+2} > 2^3 \cdot (2 \cdot 5)^{x^2-3x+2}$

Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, раскроем скобки в правой части:

$5^{x-1} \cdot 2^{x+2} > 2^3 \cdot 2^{x^2-3x+2} \cdot 5^{x^2-3x+2}$

Используя свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим правую часть:

$5^{x-1} \cdot 2^{x+2} > 2^{3 + x^2-3x+2} \cdot 5^{x^2-3x+2}$

$5^{x-1} \cdot 2^{x+2} > 2^{x^2-3x+5} \cdot 5^{x^2-3x+2}$

Разделим обе части неравенства на $2^{x^2-3x+5} \cdot 5^{x^2-3x+2}$. Так как показательные функции всегда положительны, знак неравенства не изменится.

$\frac{5^{x-1} \cdot 2^{x+2}}{5^{x^2-3x+2} \cdot 2^{x^2-3x+5}} > 1$

Используя свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получим:

$5^{(x-1) - (x^2-3x+2)} \cdot 2^{(x+2) - (x^2-3x+5)} > 1$

$5^{x-1 - x^2+3x-2} \cdot 2^{x+2 - x^2+3x-5} > 1$

$5^{-x^2+4x-3} \cdot 2^{-x^2+4x-3} > 1$

Теперь используем свойство $(ab)^n = a^n b^n$ в обратном порядке:

$(5 \cdot 2)^{-x^2+4x-3} > 1$

$10^{-x^2+4x-3} > 1$

Представим 1 как $10^0$:

$10^{-x^2+4x-3} > 10^0$

Так как основание степени $10 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$-x^2+4x-3 > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2-4x+3 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2-4x+3=0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2-4x+3$ направлена ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

Следовательно, $1 < x < 3$.

Ответ: $x \in (1; 3)$.

б) $3^{2x+1} \cdot 2^{2x-3} < 81 \cdot 6^{1-2x^2}$

Преобразуем неравенство, приведя все степени к основаниям 2 и 3. Заметим, что $6 = 2 \cdot 3$ и $81 = 3^4$.

$3^{2x+1} \cdot 2^{2x-3} < 3^4 \cdot (2 \cdot 3)^{1-2x^2}$

Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, раскроем скобки в правой части:

$3^{2x+1} \cdot 2^{2x-3} < 3^4 \cdot 2^{1-2x^2} \cdot 3^{1-2x^2}$

Используя свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим правую часть:

$3^{2x+1} \cdot 2^{2x-3} < 3^{4 + (1-2x^2)} \cdot 2^{1-2x^2}$

$3^{2x+1} \cdot 2^{2x-3} < 3^{5-2x^2} \cdot 2^{1-2x^2}$

Разделим обе части неравенства на $3^{5-2x^2} \cdot 2^{1-2x^2}$. Так как показательные функции всегда положительны, знак неравенства не изменится.

$\frac{3^{2x+1} \cdot 2^{2x-3}}{3^{5-2x^2} \cdot 2^{1-2x^2}} < 1$

Используя свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получим:

$3^{(2x+1) - (5-2x^2)} \cdot 2^{(2x-3) - (1-2x^2)} < 1$

$3^{2x+1 - 5 + 2x^2} \cdot 2^{2x-3 - 1 + 2x^2} < 1$

$3^{2x^2+2x-4} \cdot 2^{2x^2+2x-4} < 1$

Теперь используем свойство $(ab)^n = a^n b^n$ в обратном порядке:

$(3 \cdot 2)^{2x^2+2x-4} < 1$

$6^{2x^2+2x-4} < 1$

Представим 1 как $6^0$:

$6^{2x^2+2x-4} < 6^0$

Так как основание степени $6 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$2x^2+2x-4 < 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2+x-2 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2+x-2=0$. По теореме Виета, $x_1 = -2$, $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2+x-2$ направлена ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

Следовательно, $-2 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-2; 1)$.