Номер 13.7, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.7, страница 80.

Решите неравенство:

13.7. a) $2\sqrt{2} \cdot 2^{x-3} \ge \frac{1}{2}$;

B) $\left(\frac{1}{7}\right)^{3x+4} \cdot 7\sqrt{7} < \frac{1}{7}$;

б) $\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt{5} \le 5 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{2x-1}$;

г) $0,25 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{10-x} > 4\sqrt{64}$.

а) $2\sqrt{2} \cdot 2^{x-3} \ge \frac{1}{2}$

Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к степеням с одинаковым основанием. В данном случае удобнее всего использовать основание 2.

Преобразуем левую часть:

$2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$

Тогда вся левая часть неравенства будет равна:

$2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{x-3} = 2^{\frac{3}{2} + x - 3} = 2^{x - \frac{3}{2}}$

Преобразуем правую часть:

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$

Теперь неравенство выглядит так:

$2^{x - \frac{3}{2}} \ge 2^{-1}$

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x - \frac{3}{2} \ge -1$

$x \ge \frac{3}{2} - 1$

$x \ge \frac{1}{2}$

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}, +\infty)$

б) $\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt{5} \le 5 \cdot (\frac{1}{5})^{2x-1}$

Приведем обе части неравенства к степеням с основанием 5.

Преобразуем левую часть:

$\sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5^1 = 5$

$\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$

Вся левая часть: $5 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{1 + \frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$

Преобразуем правую часть:

$(\frac{1}{5})^{2x-1} = (5^{-1})^{2x-1} = 5^{-(2x-1)} = 5^{-2x+1}$

Вся правая часть: $5^1 \cdot 5^{-2x+1} = 5^{1-2x+1} = 5^{2-2x}$

Подставим преобразованные выражения в исходное неравенство:

$5^{\frac{3}{2}} \le 5^{2-2x}$

Так как основание степени $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\frac{3}{2} \le 2 - 2x$

$2x \le 2 - \frac{3}{2}$

$2x \le \frac{4}{2} - \frac{3}{2}$

$2x \le \frac{1}{2}$

$x \le \frac{1}{4}$

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{1}{4}]$

в) $(\frac{1}{7})^{3x+4} \cdot 7\sqrt{7} < \frac{1}{7}$

Приведем обе части неравенства к степеням с основанием 7.

Преобразуем левую часть:

$(\frac{1}{7})^{3x+4} = (7^{-1})^{3x+4} = 7^{-3x-4}$

$7\sqrt{7} = 7^1 \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 7^{1+\frac{1}{2}} = 7^{\frac{3}{2}}$

Вся левая часть: $7^{-3x-4} \cdot 7^{\frac{3}{2}} = 7^{-3x-4+\frac{3}{2}} = 7^{-3x-\frac{5}{2}}$

Преобразуем правую часть:

$\frac{1}{7} = 7^{-1}$

Получаем неравенство:

$7^{-3x-\frac{5}{2}} < 7^{-1}$

Так как основание степени $7 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$-3x - \frac{5}{2} < -1$

$-3x < \frac{5}{2} - 1$

$-3x < \frac{3}{2}$

При делении на отрицательное число (-3) знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{3}{2 \cdot (-3)}$

$x > -\frac{1}{2}$

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}, +\infty)$

г) $0,25 \cdot (\frac{1}{4})^{10-x} > 4\sqrt{64}$

Приведем обе части неравенства к степеням с основанием 4.

Преобразуем левую часть:

$0,25 = \frac{1}{4} = 4^{-1}$

$(\frac{1}{4})^{10-x} = (4^{-1})^{10-x} = 4^{-(10-x)} = 4^{x-10}$

Вся левая часть: $4^{-1} \cdot 4^{x-10} = 4^{-1+x-10} = 4^{x-11}$

Преобразуем правую часть:

$4\sqrt{64} = 4 \cdot 8 = 32$

Представим 32 как степень с основанием 4. Так как $32 = 2^5$ и $4=2^2$ (т.е. $2 = \sqrt{4} = 4^{\frac{1}{2}}$), то:

$32 = 2^5 = (4^{\frac{1}{2}})^5 = 4^{\frac{5}{2}}$

Теперь неравенство имеет вид:

$4^{x-11} > 4^{\frac{5}{2}}$

Так как основание степени $4 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x - 11 > \frac{5}{2}$

$x > 11 + \frac{5}{2}$

$x > \frac{22}{2} + \frac{5}{2}$

$x > \frac{27}{2}$

Ответ: $x \in (\frac{27}{2}, +\infty)$