Номер 13.1, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.1, страница 79.

Решите неравенство:

13.1. a) $2^x \ge 4$;

б) $2^x < \frac{1}{2}$;

в) $2^x \le 8$;

г) $2^x > \frac{1}{16}$.

а) Исходное неравенство: $2^x \ge 4$. Чтобы решить это показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 2. Число 4 можно представить как $2^2$.
Неравенство принимает вид: $2^x \ge 2^2$.
Так как основание степени $a=2$ больше единицы ($2 > 1$), показательная функция $y=2^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется.
$x \ge 2$.
Решение неравенства в виде промежутка: $[2; +\infty)$.
Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

б) Исходное неравенство: $2^x < \frac{1}{2}$. Приведем правую часть к основанию 2. Используя свойство степени с отрицательным показателем, имеем: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Неравенство принимает вид: $2^x < 2^{-1}$.
Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^x$ является возрастающей. Следовательно, знак неравенства при переходе к показателям сохраняется.
$x < -1$.
Решение неравенства в виде промежутка: $(-\infty; -1)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

в) Исходное неравенство: $2^x \le 8$. Приведем правую часть к основанию 2. Число 8 можно представить как $2^3$.
Неравенство принимает вид: $2^x \le 2^3$.
Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^x$ является возрастающей. Поэтому знак неравенства при переходе к показателям сохраняется.
$x \le 3$.
Решение неравенства в виде промежутка: $(-\infty; 3]$.
Ответ: $x \in (-\infty; 3]$.

г) Исходное неравенство: $2^x > \frac{1}{16}$. Приведем правую часть к основанию 2. Число 16 это $2^4$, тогда $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$.
Неравенство принимает вид: $2^x > 2^{-4}$.
Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^x$ является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется.
$x > -4$.
Решение неравенства в виде промежутка: $(-4; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-4; +\infty)$.