Номер 12.41, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.41, страница 78.

12.41. a) При каких значениях параметра $a$ уравнение

$9^x + 3^x + a^2 - 14a = 0$ имеет единственный корень?

б) При каких значениях параметра $a$ уравнение

$4^x - 3 \cdot 2^x + a^2 - 4a = 0$ имеет два корня?

а) Данное уравнение $9^x + 3^x + a^2 - 14a = 0$ является показательным. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, то $t > 0$. Заметив, что $9^x = (3^x)^2 = t^2$, перепишем исходное уравнение в виде квадратного уравнения относительно переменной $t$:
$t^2 + t + a^2 - 14a = 0$.

Исходное уравнение имеет единственный корень по $x$ тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение по $t$ имеет единственный положительный корень. Рассмотрим функцию $f(t) = t^2 + t + a^2 - 14a$. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Абсцисса вершины этой параболы равна $t_0 = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$. Поскольку вершина параболы находится в отрицательной полуплоскости по оси $t$, а ветви направлены вверх, функция $f(t)$ строго возрастает для всех $t > 0$. В этом случае уравнение $f(t)=0$ может иметь не более одного положительного корня. Единственный положительный корень будет существовать тогда и только тогда, когда значение функции в точке $t=0$ будет отрицательным, то есть $f(0) < 0$.

Вычислим $f(0)$:
$f(0) = 0^2 + 0 + a^2 - 14a = a^2 - 14a$.
Решим неравенство $f(0) < 0$:
$a^2 - 14a < 0$
$a(a - 14) < 0$
Решением этого неравенства является интервал $a \in (0; 14)$.
(Если $f(0) = 0$, то есть $a=0$ или $a=14$, уравнение для $t$ имеет корни $t=0$ и $t=-1$, ни один из которых не является положительным, значит, решений для $x$ нет. Если $f(0) > 0$, то, в силу возрастания $f(t)$ при $t>0$, положительных корней нет).
Следовательно, условие $a \in (0; 14)$ является необходимым и достаточным.
Ответ: $a \in (0; 14)$.

б) В уравнении $4^x - 3 \cdot 2^x + a^2 - 4a = 0$ также сделаем замену. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. Учитывая, что $4^x = (2^x)^2 = t^2$, получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 3t + a^2 - 4a = 0$.

Исходное уравнение имеет два различных корня по $x$ тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение по $t$ имеет два различных положительных корня. Для того чтобы квадратное уравнение $At^2+Bt+C=0$ имело два различных положительных корня, необходимо и достаточно выполнение системы из трех условий: $ \begin{cases} D > 0 & \text{(наличие двух различных корней)} \\ t_1 + t_2 > 0 & \text{(сумма корней положительна)} \\ t_1 \cdot t_2 > 0 & \text{(произведение корней положительно)} \end{cases} $ Применим эти условия к нашему уравнению $t^2 - 3t + (a^2 - 4a) = 0$.

1. Дискриминант $D$ должен быть строго больше нуля.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 4a) = 9 - 4a^2 + 16a$
$9 - 4a^2 + 16a > 0$
$4a^2 - 16a - 9 < 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $4a^2 - 16a - 9 = 0$:
$a = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 4 \cdot (-9)}}{8} = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 144}}{8} = \frac{16 \pm \sqrt{400}}{8} = \frac{16 \pm 20}{8}$
$a_1 = \frac{16 - 20}{8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$
$a_2 = \frac{16 + 20}{8} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$
Решением неравенства $4a^2 - 16a - 9 < 0$ является интервал $a \in (-\frac{1}{2}; \frac{9}{2})$.

2. Сумма корней, по теореме Виета, $t_1 + t_2 = -(-3)/1 = 3$.
Условие $3 > 0$ выполняется для любых значений параметра $a$.

3. Произведение корней, по теореме Виета, $t_1 \cdot t_2 = (a^2 - 4a)/1 = a^2 - 4a$.
Условие $t_1 \cdot t_2 > 0$ приводит к неравенству:
$a^2 - 4a > 0$
$a(a - 4) > 0$
Решением этого неравенства является объединение интервалов $a \in (-\infty; 0) \cup (4; \infty)$.

Для нахождения итогового решения найдем пересечение множеств, полученных в пунктах 1 и 3:
$a \in (-\frac{1}{2}; \frac{9}{2}) \cap ((-\infty; 0) \cup (4; \infty))$
Это соответствует объединению интервалов $a \in (-\frac{1}{2}; 0) \cup (4; \frac{9}{2})$.
Ответ: $a \in (-\frac{1}{2}; 0) \cup (4; \frac{9}{2})$.