Номер 12.47, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.47, страница 79.

12.47. a)

$\begin{cases} 2^{2x} + 2^x \cdot y = 10, \\ y^2 + y \cdot 2^x = 15; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 7^{2x} - 7^x \cdot y = 28, \\ y^2 - y \cdot 7^x = -12. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2^{2x} + 2^x \cdot y = 10 \\ y^2 + y \cdot 2^x = 15 \end{cases} $$ Сделаем замену переменной. Пусть $a = 2^x$. Поскольку $2^x > 0$ для любого действительного $x$, то $a > 0$. После замены система примет вид: $$ \begin{cases} a^2 + ay = 10 \\ y^2 + ay = 15 \end{cases} $$ Сложим первое и второе уравнения системы: $ (a^2 + ay) + (y^2 + ay) = 10 + 15 $
$ a^2 + 2ay + y^2 = 25 $
$ (a+y)^2 = 25 $
Из последнего уравнения следует, что $a+y = 5$ или $a+y = -5$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $a+y = 5$.
Выразим $y$ через $a$: $y = 5 - a$. Подставим это выражение в первое уравнение преобразованной системы $a^2 + ay = 10$:
$ a^2 + a(5 - a) = 10 $
$ a^2 + 5a - a^2 = 10 $
$ 5a = 10 $
$ a = 2 $
Это значение удовлетворяет условию $a > 0$. Теперь найдем $y$:
$ y = 5 - a = 5 - 2 = 3 $.
Для проверки подставим пару $(a, y) = (2, 3)$ во второе уравнение $y^2 + ay = 15$:
$ 3^2 + 2 \cdot 3 = 9 + 6 = 15 $. Равенство выполняется. Теперь вернемся к исходной переменной $x$:
$ a = 2^x \implies 2 = 2^x \implies x = 1 $. Таким образом, одно из решений системы: $(1, 3)$.

Случай 2: $a+y = -5$.
Выразим $y$ через $a$: $y = -5 - a$. Подставим это выражение в первое уравнение $a^2 + ay = 10$:
$ a^2 + a(-5 - a) = 10 $
$ a^2 - 5a - a^2 = 10 $
$ -5a = 10 $
$ a = -2 $
Это значение не удовлетворяет условию $a > 0$, поэтому в этом случае решений нет.

Итак, система имеет единственное решение.
Ответ: $(1, 3)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 7^{2x} - 7^x \cdot y = 28 \\ y^2 - y \cdot 7^x = -12 \end{cases} $$ Сделаем замену переменной. Пусть $a = 7^x$. Поскольку $7^x > 0$ для любого действительного $x$, то $a > 0$. После замены система примет вид: $$ \begin{cases} a^2 - ay = 28 \\ y^2 - ay = -12 \end{cases} $$ Сложим первое и второе уравнения системы: $ (a^2 - ay) + (y^2 - ay) = 28 - 12 $
$ a^2 - 2ay + y^2 = 16 $
$ (a-y)^2 = 16 $
Из последнего уравнения следует, что $a-y = 4$ или $a-y = -4$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $a-y = 4$.
Выразим $y$ через $a$: $y = a - 4$. Подставим это выражение в первое уравнение преобразованной системы $a^2 - ay = 28$:
$ a^2 - a(a - 4) = 28 $
$ a^2 - a^2 + 4a = 28 $
$ 4a = 28 $
$ a = 7 $
Это значение удовлетворяет условию $a > 0$. Теперь найдем $y$:
$ y = a - 4 = 7 - 4 = 3 $.
Для проверки подставим пару $(a, y) = (7, 3)$ во второе уравнение $y^2 - ay = -12$:
$ 3^2 - 7 \cdot 3 = 9 - 21 = -12 $. Равенство выполняется. Теперь вернемся к исходной переменной $x$:
$ a = 7^x \implies 7 = 7^x \implies x = 1 $. Таким образом, одно из решений системы: $(1, 3)$.

Случай 2: $a-y = -4$.
Выразим $y$ через $a$: $y = a + 4$. Подставим это выражение в первое уравнение $a^2 - ay = 28$:
$ a^2 - a(a + 4) = 28 $
$ a^2 - a^2 - 4a = 28 $
$ -4a = 28 $
$ a = -7 $
Это значение не удовлетворяет условию $a > 0$, поэтому в этом случае решений нет.

Итак, система имеет единственное решение.
Ответ: $(1, 3)$.