Номер 13.6, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.6, страница 79.

13.6. а) $2^{3x+6} \le \left(\frac{1}{4}\right)^{x-1}$;

В) $25^{-x+3} \ge \left(\frac{1}{5}\right)^{3x-1}$;

б) $\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x+3} > \left(\frac{12}{7}\right)^{3+2x}$;

г) $\left(\frac{5}{3}\right)^{2x-8} < \left(\frac{9}{25}\right)^{-x+3}$.

а)

Дано показательное неравенство $2^{3x+6} \le \left(\frac{1}{4}\right)^{x-1}$.

Для решения приведем обе части неравенства к одному основанию. В качестве общего основания выберем 2.

Представим правую часть неравенства как степень с основанием 2. Мы знаем, что $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.

Подставим это выражение в исходное неравенство: $2^{3x+6} \le (2^{-2})^{x-1}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$ для правой части: $2^{3x+6} \le 2^{-2(x-1)}$ $2^{3x+6} \le 2^{-2x+2}$

Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция с этим основанием является возрастающей. Это значит, что для показателей степени знак неравенства сохраняется: $3x+6 \le -2x+2$

Теперь решим полученное линейное неравенство: $3x + 2x \le 2 - 6$ $5x \le -4$ $x \le -\frac{4}{5}$

Решением является промежуток $(-\infty; -0.8]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.8]$.

б)

Дано неравенство $\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x+3} > \left(\frac{12}{7}\right)^{3+2x}$.

Приведем обе части к общему основанию. Заметим, что основания $\frac{7}{12}$ и $\frac{12}{7}$ являются взаимно обратными числами. Выберем в качестве общего основания $\frac{7}{12}$.

Представим $\frac{12}{7}$ как степень с основанием $\frac{7}{12}$: $\frac{12}{7} = \left(\frac{7}{12}\right)^{-1}$.

Подставим это в правую часть неравенства: $\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x+3} > \left(\left(\frac{7}{12}\right)^{-1}\right)^{3+2x}$

Упростим правую часть: $\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x+3} > \left(\frac{7}{12}\right)^{-(3+2x)}$ $\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x+3} > \left(\frac{7}{12}\right)^{-3-2x}$

Поскольку основание степени $0 < \frac{7}{12} < 1$, показательная функция с этим основанием является убывающей. Это означает, что при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства необходимо изменить на противоположный: $-2x+3 < -3-2x$

Решим полученное неравенство: $-2x + 2x < -3 - 3$ $0 < -6$

Мы получили неверное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$.

в)

Дано неравенство $25^{-x+3} \ge \left(\frac{1}{5}\right)^{3x-1}$.

Приведем обе части к одному основанию, например, к основанию 5.

Представим $25$ и $\frac{1}{5}$ в виде степеней с основанием 5: $25 = 5^2$ и $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Подставим эти выражения в неравенство: $(5^2)^{-x+3} \ge (5^{-1})^{3x-1}$

Упростим показатели степеней в обеих частях: $5^{2(-x+3)} \ge 5^{-1(3x-1)}$ $5^{-2x+6} \ge 5^{-3x+1}$

Так как основание $5 > 1$, показательная функция является возрастающей, и знак неравенства для показателей сохраняется: $-2x+6 \ge -3x+1$

Решим полученное линейное неравенство: $-2x + 3x \ge 1 - 6$ $x \ge -5$

Решением является числовой промежуток $[-5; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-5; +\infty)$.

г)

Дано неравенство $\left(\frac{5}{3}\right)^{2x-8} < \left(\frac{9}{25}\right)^{-x+3}$.

Приведем обе части к общему основанию $\frac{5}{3}$.

Представим основание правой части $\frac{9}{25}$ через основание $\frac{5}{3}$: $\frac{9}{25} = \frac{3^2}{5^2} = \left(\frac{3}{5}\right)^2$. Поскольку $\frac{3}{5} = \left(\frac{5}{3}\right)^{-1}$, то $\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \left(\left(\frac{5}{3}\right)^{-1}\right)^2 = \left(\frac{5}{3}\right)^{-2}$.

Подставим полученное выражение в неравенство: $\left(\frac{5}{3}\right)^{2x-8} < \left(\left(\frac{5}{3}\right)^{-2}\right)^{-x+3}$

Упростим правую часть: $\left(\frac{5}{3}\right)^{2x-8} < \left(\frac{5}{3}\right)^{-2(-x+3)}$ $\left(\frac{5}{3}\right)^{2x-8} < \left(\frac{5}{3}\right)^{2x-6}$

Основание степени $\frac{5}{3} > 1$, поэтому показательная функция возрастает, и знак неравенства для показателей сохраняется: $2x-8 < 2x-6$

Решим это неравенство: $2x - 2x < -6 + 8$ $0 < 2$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное неравенство справедливо для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.