Номер 13.9, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.9, страница 80.

13.9. a) $\sqrt{2^{-1}} \cdot \sqrt{2^{x^2 - 7.5}} \ge 2^{-7};$

б) $0.9^{x^2 - 4x} < \left(\frac{10}{9}\right)^3;$

в) $14^{x^2 + x} \le 196;$

г) $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3x^2 - 13x} > 9.$

а)

Исходное неравенство: $\sqrt{2^{-1}} \cdot \sqrt{2^{x^2-7,5}} \ge 2^{-7}$.

Область допустимых значений (ОДЗ): подкоренные выражения должны быть неотрицательными. $2^{-1} = \frac{1}{2} > 0$. Выражение $2^{x^2-7,5}$ всегда положительно при любом действительном $x$, так как показательная функция с основанием больше 1 принимает только положительные значения. Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\sqrt{2^{-1} \cdot 2^{x^2-7,5}} = \sqrt{2^{-1 + x^2 - 7,5}} = \sqrt{2^{x^2 - 8,5}}$

Теперь представим корень в виде степени с рациональным показателем $\sqrt{a} = a^{1/2}$:

$\sqrt{2^{x^2 - 8,5}} = (2^{x^2 - 8,5})^{1/2} = 2^{\frac{x^2 - 8,5}{2}}$

Неравенство принимает вид:

$2^{\frac{x^2 - 8,5}{2}} \ge 2^{-7}$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$\frac{x^2 - 8,5}{2} \ge -7$

Умножим обе части на 2:

$x^2 - 8,5 \ge -14$

$x^2 \ge -14 + 8,5$

$x^2 \ge -5,5$

Квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Следовательно, неравенство $x^2 \ge -5,5$ выполняется для любых действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б)

Исходное неравенство: $0,9^{x^2-4x} < (\frac{10}{9})^3$.

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $0,9 = \frac{9}{10}$ и $\frac{10}{9} = (\frac{9}{10})^{-1}$.

Преобразуем правую часть:

$(\frac{10}{9})^3 = ((\frac{9}{10})^{-1})^3 = (\frac{9}{10})^{-3}$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{9}{10})^{x^2-4x} < (\frac{9}{10})^{-3}$

Так как основание степени $\frac{9}{10}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 4x > -3$

$x^2 - 4x + 3 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < 1$ или $x > 3$.

Ответ: $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

в)

Исходное неравенство: $14^{x^2+x} \le 196$.

Приведем обе части неравенства к основанию 14. Заметим, что $196 = 14^2$.

Неравенство принимает вид:

$14^{x^2+x} \le 14^2$

Так как основание степени $14 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x^2 + x \le 2$

$x^2 + x - 2 \le 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 + x - 2$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $-2 \le x \le 1$.

Ответ: $[-2; 1]$.

г)

Исходное неравенство: $(\frac{1}{\sqrt{3}})^{3x^2-13x} > 9$.

Приведем обе части неравенства к одному основанию, например, к основанию 3.

Преобразуем левую и правую части:

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{1/2}} = 3^{-1/2}$

$9 = 3^2$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$(3^{-1/2})^{3x^2-13x} > 3^2$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$3^{-\frac{1}{2}(3x^2-13x)} > 3^2$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$-\frac{1}{2}(3x^2-13x) > 2$

Умножим обе части на -2. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$3x^2 - 13x < -4$

$3x^2 - 13x + 4 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $3x^2 - 13x + 4 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121 = 11^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{13 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{13 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 11}{6} = \frac{24}{6} = 4$

Парабола $y = 3x^2 - 13x + 4$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $\frac{1}{3} < x < 4$.

Ответ: $(\frac{1}{3}; 4)$.