Номер 13.13, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.13, страница 80.

13.13. a) $5^{x-1} \cdot 2^{x+2} > 8 \cdot 10^{x^2-3x+2}$,

б) $3^{2x+1} \cdot 2^{2x-3} < 81 \cdot 6^{1-2x^2}$.

а) $5^{x-1} \cdot 2^{x+2} > 8 \cdot 10^{x^2-3x+2}$

Преобразуем неравенство, приведя все степени к основаниям 2 и 5. Заметим, что $10 = 2 \cdot 5$ и $8 = 2^3$.

$5^{x-1} \cdot 2^{x+2} > 2^3 \cdot (2 \cdot 5)^{x^2-3x+2}$

Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, раскроем скобки в правой части:

$5^{x-1} \cdot 2^{x+2} > 2^3 \cdot 2^{x^2-3x+2} \cdot 5^{x^2-3x+2}$

Используя свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим правую часть:

$5^{x-1} \cdot 2^{x+2} > 2^{3 + x^2-3x+2} \cdot 5^{x^2-3x+2}$

$5^{x-1} \cdot 2^{x+2} > 2^{x^2-3x+5} \cdot 5^{x^2-3x+2}$

Разделим обе части неравенства на $2^{x^2-3x+5} \cdot 5^{x^2-3x+2}$. Так как показательные функции всегда положительны, знак неравенства не изменится.

$\frac{5^{x-1} \cdot 2^{x+2}}{5^{x^2-3x+2} \cdot 2^{x^2-3x+5}} > 1$

Используя свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получим:

$5^{(x-1) - (x^2-3x+2)} \cdot 2^{(x+2) - (x^2-3x+5)} > 1$

$5^{x-1 - x^2+3x-2} \cdot 2^{x+2 - x^2+3x-5} > 1$

$5^{-x^2+4x-3} \cdot 2^{-x^2+4x-3} > 1$

Теперь используем свойство $(ab)^n = a^n b^n$ в обратном порядке:

$(5 \cdot 2)^{-x^2+4x-3} > 1$

$10^{-x^2+4x-3} > 1$

Представим 1 как $10^0$:

$10^{-x^2+4x-3} > 10^0$

Так как основание степени $10 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$-x^2+4x-3 > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2-4x+3 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2-4x+3=0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2-4x+3$ направлена ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

Следовательно, $1 < x < 3$.

Ответ: $x \in (1; 3)$.

б) $3^{2x+1} \cdot 2^{2x-3} < 81 \cdot 6^{1-2x^2}$

Преобразуем неравенство, приведя все степени к основаниям 2 и 3. Заметим, что $6 = 2 \cdot 3$ и $81 = 3^4$.

$3^{2x+1} \cdot 2^{2x-3} < 3^4 \cdot (2 \cdot 3)^{1-2x^2}$

Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, раскроем скобки в правой части:

$3^{2x+1} \cdot 2^{2x-3} < 3^4 \cdot 2^{1-2x^2} \cdot 3^{1-2x^2}$

Используя свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим правую часть:

$3^{2x+1} \cdot 2^{2x-3} < 3^{4 + (1-2x^2)} \cdot 2^{1-2x^2}$

$3^{2x+1} \cdot 2^{2x-3} < 3^{5-2x^2} \cdot 2^{1-2x^2}$

Разделим обе части неравенства на $3^{5-2x^2} \cdot 2^{1-2x^2}$. Так как показательные функции всегда положительны, знак неравенства не изменится.

$\frac{3^{2x+1} \cdot 2^{2x-3}}{3^{5-2x^2} \cdot 2^{1-2x^2}} < 1$

Используя свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получим:

$3^{(2x+1) - (5-2x^2)} \cdot 2^{(2x-3) - (1-2x^2)} < 1$

$3^{2x+1 - 5 + 2x^2} \cdot 2^{2x-3 - 1 + 2x^2} < 1$

$3^{2x^2+2x-4} \cdot 2^{2x^2+2x-4} < 1$

Теперь используем свойство $(ab)^n = a^n b^n$ в обратном порядке:

$(3 \cdot 2)^{2x^2+2x-4} < 1$

$6^{2x^2+2x-4} < 1$

Представим 1 как $6^0$:

$6^{2x^2+2x-4} < 6^0$

Так как основание степени $6 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$2x^2+2x-4 < 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2+x-2 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2+x-2=0$. По теореме Виета, $x_1 = -2$, $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2+x-2$ направлена ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

Следовательно, $-2 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-2; 1)$.