Номер 13.17, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.17, страница 81.

13.17. a) $3^{\sqrt{x^2-5x+6}} \ge 1$;

б) $0,4^{\sqrt{4x^2-13x+3}} \le 1$;

В) $9^{\sqrt{5+4x-x^2}} \ge 1$;

Г) $\left(\frac{4}{5}\right)^{\sqrt{6+x-x^2}} \le 1$.

а) Решим неравенство $3^{\sqrt{x^2-5x+6}} \ge 1$.
Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 3: $1 = 3^0$.
Неравенство принимает вид: $3^{\sqrt{x^2-5x+6}} \ge 3^0$.
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:
$\sqrt{x^2-5x+6} \ge 0$.
По определению, арифметический квадратный корень всегда неотрицателен. Поэтому данное неравенство выполняется для всех значений $x$, для которых выражение под корнем определено, то есть неотрицательно.
Таким образом, задача сводится к нахождению области определения подкоренного выражения:
$x^2-5x+6 \ge 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2-5x+6 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.
Графиком функции $y = x^2-5x+6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; 2] \cup [3; +\infty)$.

б) Решим неравенство $0,4^{\sqrt{4x^2-13x+3}} \le 1$.
Представим 1 как степень с основанием 0,4: $1 = 0,4^0$.
Неравенство принимает вид: $0,4^{\sqrt{4x^2-13x+3}} \le 0,4^0$.
Так как основание степени $0,4 < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$\sqrt{4x^2-13x+3} \ge 0$.
Это неравенство, как и в предыдущем пункте, выполняется для всех $x$ из области определения квадратного корня.
Найдем область определения, решив неравенство:
$4x^2-13x+3 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $4x^2-13x+3 = 0$ через дискриминант.
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 169 - 48 = 121 = 11^2$.
$x_{1,2} = \frac{-(-13) \pm 11}{2 \cdot 4} = \frac{13 \pm 11}{8}$.
$x_1 = \frac{13-11}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$x_2 = \frac{13+11}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
Графиком функции $y = 4x^2-13x+3$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \ge 0$ выполняется на промежутках $(-\infty; \frac{1}{4}] \cup [3; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; \frac{1}{4}] \cup [3; +\infty)$.

в) Решим неравенство $9^{\sqrt{5+4x-x^2}} \ge 1$.
Представим 1 как $9^0$. Неравенство примет вид: $9^{\sqrt{5+4x-x^2}} \ge 9^0$.
Основание $9 > 1$, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:
$\sqrt{5+4x-x^2} \ge 0$.
Неравенство справедливо для всех $x$ из области определения подкоренного выражения.
$5+4x-x^2 \ge 0$.
Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный:
$x^2-4x-5 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2-4x-5 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$.
Парабола $y = x^2-4x-5$ направлена ветвями вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется между корнями (включая сами корни).
Следовательно, решение: $-1 \le x \le 5$.
Ответ: $[-1; 5]$.

г) Решим неравенство $(\frac{4}{5})^{\sqrt{6+x-x^2}} \le 1$.
Представим 1 как $(\frac{4}{5})^0$. Неравенство примет вид: $(\frac{4}{5})^{\sqrt{6+x-x^2}} \le (\frac{4}{5})^0$.
Так как основание $0 < \frac{4}{5} < 1$, показательная функция убывающая, поэтому знак неравенства для показателей меняется на противоположный:
$\sqrt{6+x-x^2} \ge 0$.
Неравенство выполняется на области определения подкоренного выражения.
$6+x-x^2 \ge 0$.
Умножим на -1 и сменим знак:
$x^2-x-6 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2-x-6=0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.
Парабола $y = x^2-x-6$ с ветвями вверх. Неотрицательные значения функция принимает между корнями.
Следовательно, решение: $-2 \le x \le 3$.
Ответ: $[-2; 3]$.