Номер 13.11, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.11, страница 80.

13.11. a) $4^x \cdot \left(\frac{3}{8}\right)^x \le 2,25;$

б) $9^x \cdot \left(\frac{1}{18}\right)^x > 0,25;$

В) $5^x \cdot \left(\frac{2}{15}\right)^x \ge \frac{4}{9};$

Г) $3^x \cdot \left(\frac{1}{12}\right)^x < 0,0625.$

a) $4^x \cdot \left(\frac{3}{8}\right)^x \le 2,25$

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство степеней $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$\left(4 \cdot \frac{3}{8}\right)^x \le 2,25$

Упростим основание степени:

$\left(\frac{12}{8}\right)^x \le 2,25$

$\left(\frac{3}{2}\right)^x \le 2,25$

Представим правую часть неравенства в виде степени с таким же основанием. Для этого сначала переведем десятичную дробь $2,25$ в обыкновенную:

$2,25 = 2\frac{25}{100} = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$

Так как $\frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2$, неравенство можно переписать в виде:

$\left(\frac{3}{2}\right)^x \le \left(\frac{3}{2}\right)^2$

Основание степени $\frac{3}{2}$ больше 1, поэтому показательная функция $y = \left(\frac{3}{2}\right)^x$ является возрастающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x \le 2$

Ответ: $x \in (-\infty, 2]$.

б) $9^x \cdot \left(\frac{1}{18}\right)^x > 0,25$

Объединим множители в левой части под одной степенью:

$\left(9 \cdot \frac{1}{18}\right)^x > 0,25$

Упростим основание:

$\left(\frac{9}{18}\right)^x > 0,25$

$\left(\frac{1}{2}\right)^x > 0,25$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$:

$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$

Неравенство принимает вид:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x > \left(\frac{1}{2}\right)^2$

Основание степени $\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому показательная функция $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 2$

Ответ: $x \in (-\infty, 2)$.

в) $5^x \cdot \left(\frac{2}{15}\right)^x \ge \frac{4}{9}$

Преобразуем левую часть неравенства:

$\left(5 \cdot \frac{2}{15}\right)^x \ge \frac{4}{9}$

Упростим основание степени:

$\left(\frac{10}{15}\right)^x \ge \frac{4}{9}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^x \ge \frac{4}{9}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{2}{3}$:

$\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$

Неравенство принимает вид:

$\left(\frac{2}{3}\right)^x \ge \left(\frac{2}{3}\right)^2$

Основание степени $\frac{2}{3}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому показательная функция $y = \left(\frac{2}{3}\right)^x$ является убывающей. Следовательно, знак неравенства при переходе к показателям меняется на противоположный:

$x \le 2$

Ответ: $x \in (-\infty, 2]$.

г) $3^x \cdot \left(\frac{1}{12}\right)^x < 0,0625$

Преобразуем левую часть неравенства:

$\left(3 \cdot \frac{1}{12}\right)^x < 0,0625$

Упростим основание степени:

$\left(\frac{3}{12}\right)^x < 0,0625$

$\left(\frac{1}{4}\right)^x < 0,0625$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{1}{4}$. Сначала переведем десятичную дробь в обыкновенную:

$0,0625 = \frac{625}{10000} = \frac{125}{2000} = \frac{25}{400} = \frac{1}{16}$

Так как $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{4}\right)^2$, неравенство принимает вид:

$\left(\frac{1}{4}\right)^x < \left(\frac{1}{4}\right)^2$

Основание степени $\frac{1}{4}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому показательная функция $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 2$

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.