Номер 13.8, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.8, страница 80.

13.8. a) $7^{x^2-5x} < \left(\frac{1}{7}\right)^6$;

В) $11^{2x^2+3x} \le 121$;

б) $0,6^{x^2-x} \ge \left(\frac{3}{5}\right)^6$;

г) $0,3^{x^2-10x} > \left(3\frac{1}{3}\right)^{24}$.

а) Дано неравенство $7^{x^2-5x} < \left(\frac{1}{7}\right)^6$.
Для решения приведем обе части неравенства к одному основанию $7$.
Правая часть: $\left(\frac{1}{7}\right)^6 = (7^{-1})^6 = 7^{-6}$.
Неравенство принимает вид: $7^{x^2-5x} < 7^{-6}$.
Так как основание $7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 5x < -6$
$x^2 - 5x + 6 < 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=2$ и $x_2=3$.
Парабола $y=x^2-5x+6$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $2 < x < 3$.
Ответ: $x \in (2; 3)$.

б) Дано неравенство $0,6^{x^2-x} \ge \left(\frac{3}{5}\right)^6$.
Приведем обе части к одному основанию. Заметим, что $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Неравенство принимает вид: $\left(\frac{3}{5}\right)^{x^2-x} \ge \left(\frac{3}{5}\right)^6$.
Так как основание $0 < \frac{3}{5} < 1$, показательная функция является убывающей. Это означает, что при переходе от степеней к их показателям знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - x \le 6$
$x^2 - x - 6 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=-2$ и $x_2=3$.
Парабола $y=x^2-x-6$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $-2 \le x \le 3$.
Ответ: $x \in [-2; 3]$.

в) Дано неравенство $11^{2x^2+3x} \le 121$.
Приведем обе части к основанию $11$. Правая часть: $121 = 11^2$.
Неравенство принимает вид: $11^{2x^2+3x} \le 11^2$.
Так как основание $11 > 1$, показательная функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:
$2x^2+3x \le 2$
$2x^2+3x-2 \le 0$
Найдем корни уравнения $2x^2+3x-2=0$ с помощью дискриминанта:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$
$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4}$
$x_1 = \frac{-3-5}{4} = -2$
$x_2 = \frac{-3+5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Парабола $y=2x^2+3x-2$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $-2 \le x \le \frac{1}{2}$.
Ответ: $x \in [-2; 0,5]$.

г) Дано неравенство $0,3^{x^2-10x} > \left(3\frac{1}{3}\right)^{24}$.
Приведем обе части к одному основанию. Левая часть: $0,3 = \frac{3}{10}$. Правая часть: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.
Заметим, что $\frac{10}{3} = \left(\frac{3}{10}\right)^{-1}$. Тогда правую часть можно преобразовать:
$\left(3\frac{1}{3}\right)^{24} = \left(\frac{10}{3}\right)^{24} = \left(\left(\frac{3}{10}\right)^{-1}\right)^{24} = \left(\frac{3}{10}\right)^{-24}$.
Неравенство принимает вид: $\left(\frac{3}{10}\right)^{x^2-10x} > \left(\frac{3}{10}\right)^{-24}$.
Так как основание $0 < \frac{3}{10} < 1$, показательная функция является убывающей, и знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - 10x < -24$
$x^2 - 10x + 24 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 10x + 24 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=4$ и $x_2=6$.
Парабола $y=x^2-10x+24$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $4 < x < 6$.
Ответ: $x \in (4; 6)$.