Номер 13.3, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.3, страница 79.

13.3. a) $3^{2x-4} \le 27$;

б) $(\frac{2}{3})^{3x+6} > \frac{4}{9}$;

В) $5^{4x+2} \ge 125$;

Г) $(0.1)^{5x-9} < 0.001.$

а) $3^{2x-4} \le 27$

Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание $3$.

Правая часть неравенства: $27 = 3^3$.

Подставим это в исходное неравенство:

$3^{2x-4} \le 3^3$

Так как основание степени $3$ больше единицы ($3 > 1$), то показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя степени). Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$2x - 4 \le 3$

Теперь решим полученное линейное неравенство:

$2x \le 3 + 4$

$2x \le 7$

$x \le \frac{7}{2}$

$x \le 3.5$

Решением является промежуток $(-\infty; 3.5]$.

Ответ: $(-\infty; 3.5]$.

б) $(\frac{2}{3})^{3x+6} > \frac{4}{9}$

Приведем обе части неравенства к основанию $\frac{2}{3}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{2}{3}$:

$\frac{4}{9} = \frac{2^2}{3^2} = (\frac{2}{3})^2$

Теперь неравенство выглядит так:

$(\frac{2}{3})^{3x+6} > (\frac{2}{3})^2$

Основание степени $\frac{2}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$. Показательная функция $y=a^t$ с основанием $0 < a < 1$ является убывающей. Это значит, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$3x + 6 < 2$

Решаем линейное неравенство:

$3x < 2 - 6$

$3x < -4$

$x < -\frac{4}{3}$

Решением является промежуток $(-\infty; -\frac{4}{3})$.

Ответ: $(-\infty; -\frac{4}{3})$.

в) $5^{4x+2} \ge 125$

Приведем обе части к основанию $5$.

Правая часть: $125 = 5^3$.

Неравенство принимает вид:

$5^{4x+2} \ge 5^3$

Основание степени $5 > 1$, поэтому показательная функция является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$4x + 2 \ge 3$

Решаем линейное неравенство:

$4x \ge 3 - 2$

$4x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{4}$

Решением является промежуток $[\frac{1}{4}; +\infty)$.

Ответ: $[\frac{1}{4}; +\infty)$.

г) $(0,1)^{5x-9} < 0,001$

Приведем обе части неравенства к основанию $0,1$.

Представим правую часть в виде степени с основанием $0,1$:

$0,001 = \frac{1}{1000} = (\frac{1}{10})^3 = (0,1)^3$

Неравенство принимает вид:

$(0,1)^{5x-9} < (0,1)^3$

Основание степени $0,1$ находится в интервале $(0; 1)$. Показательная функция с таким основанием является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$5x - 9 > 3$

Решаем полученное линейное неравенство:

$5x > 3 + 9$

$5x > 12$

$x > \frac{12}{5}$

$x > 2,4$

Решением является промежуток $(2,4; +\infty)$.

Ответ: $(2,4; +\infty)$.