Номер 12.44, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.44, страница 78.

Решите систему уравнений:

12.44. a)
$\begin{cases} 2^{x+y} = 16, \\ 3^y = 27^x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 0.5^{3x} \cdot 0.5^y = 0.5, \\ 2^{3x} \cdot 2^{-y} = 32; \end{cases}$

В) $\begin{cases} 5^{2x-y} = 125, \\ 4^{x-y} = 4; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} 0.6^{x+y} \cdot 0.6^x = 0.6, \\ 10^x \cdot 10^y = (0.01)^{-1}. \end{cases}$

а) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2^{x+y} = 16 \\ 3^y = 27^x \end{cases} $$ Преобразуем каждое уравнение, приведя обе части к одному основанию.
В первом уравнении представим число $16$ как степень двойки: $16 = 2^4$. Уравнение примет вид: $2^{x+y} = 2^4$. Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели: $x+y = 4$.
Во втором уравнении представим число $27$ как степень тройки: $27 = 3^3$. Уравнение примет вид: $3^y = (3^3)^x$, что по свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ равносильно $3^y = 3^{3x}$. Приравнивая показатели, получаем: $y = 3x$.
Теперь у нас есть система линейных уравнений: $$ \begin{cases} x+y = 4 \\ y = 3x \end{cases} $$ Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое: $x + (3x) = 4$
$4x = 4$
$x = 1$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ во второе уравнение: $y = 3 \cdot 1 = 3$
Решением системы является пара чисел $(1; 3)$.
Ответ: $(1; 3)$.

б) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} 0.5^{3x} \cdot 0.5^y = 0.5 \\ 2^{3x} \cdot 2^{-y} = 32 \end{cases} $$ Упростим каждое уравнение, используя свойства степеней.
В первом уравнении используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $0.5^{3x+y} = 0.5^1$. Отсюда получаем: $3x+y = 1$.
Во втором уравнении также используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и представляем $32$ как степень двойки ($32 = 2^5$): $2^{3x+(-y)} = 2^5$
$2^{3x-y} = 2^5$. Отсюда получаем: $3x-y = 5$.
Получили систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} 3x+y = 1 \\ 3x-y = 5 \end{cases} $$ Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $y$: $(3x+y) + (3x-y) = 1+5$
$6x = 6$
$x = 1$
Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$: $3(1) + y = 1$
$3 + y = 1$
$y = 1 - 3 = -2$
Решением системы является пара чисел $(1; -2)$.
Ответ: $(1; -2)$.

в) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} 5^{2x-y} = 125 \\ 4^{x-y} = 4 \end{cases} $$ Приведем обе части каждого уравнения к одному основанию.
Первое уравнение: $125 = 5^3$. $5^{2x-y} = 5^3$. Приравниваем показатели: $2x-y = 3$.
Второе уравнение: $4 = 4^1$. $4^{x-y} = 4^1$. Приравниваем показатели: $x-y = 1$.
В результате получаем систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} 2x-y = 3 \\ x-y = 1 \end{cases} $$ Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить $y$: $(2x-y) - (x-y) = 3-1$
$2x-y-x+y = 2$
$x = 2$
Подставим значение $x$ во второе уравнение ($x-y=1$): $2-y=1$
$y = 2-1 = 1$
Решением системы является пара чисел $(2; 1)$.
Ответ: $(2; 1)$.

г) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} 0.6^{x+y} \cdot 0.6^x = 0.6 \\ 10^x \cdot 10^y = (0.01)^{-1} \end{cases} $$ Преобразуем оба уравнения системы.
Первое уравнение: используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем: $0.6^{(x+y)+x} = 0.6^1$
$0.6^{2x+y} = 0.6^1$. Отсюда: $2x+y = 1$.
Второе уравнение: левую часть упростим по тому же свойству, а правую часть преобразуем: $0.01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$. Тогда $(0.01)^{-1} = (10^{-2})^{-1} = 10^{(-2)(-1)} = 10^2$. Уравнение принимает вид: $10^{x+y} = 10^2$. Отсюда: $x+y=2$.
Получили систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} 2x+y = 1 \\ x+y = 2 \end{cases} $$ Вычтем второе уравнение из первого: $(2x+y) - (x+y) = 1-2$
$2x+y-x-y = -1$
$x = -1$
Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение ($x+y=2$): $-1+y=2$
$y = 2+1 = 3$
Решением системы является пара чисел $(-1; 3)$.
Ответ: $(-1; 3)$.