Номер 12.42, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.42, страница 78.

12.42. При каких значениях параметра m уравнение $x^2 - (2^m - 1)x - 3(4^{m-1} - 2^{m-2}) = 0$ имеет единственный корень?

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю.

Уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где:

• $a = 1$
• $b = -(2^m - 1)$
• $c = -3(4^{m-1} - 2^{m-2})$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

Сначала упростим коэффициент $c$:

$c = -3(4^{m-1} - 2^{m-2}) = -3(\frac{4^m}{4} - \frac{2^m}{4}) = -\frac{3}{4}(4^m - 2^m)$.

Теперь вычислим дискриминант:

$D = (-(2^m - 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{3}{4}(4^m - 2^m)\right)$

$D = (2^m - 1)^2 + 3(4^m - 2^m)$

Раскроем скобки. Учтем, что $4^m = (2^2)^m = (2^m)^2$.

$D = ((2^m)^2 - 2 \cdot 2^m + 1) + 3((2^m)^2 - 2^m)$

$D = 4^m - 2 \cdot 2^m + 1 + 3 \cdot 4^m - 3 \cdot 2^m$

Приведем подобные слагаемые:

$D = (4^m + 3 \cdot 4^m) + (-2 \cdot 2^m - 3 \cdot 2^m) + 1$

$D = 4 \cdot 4^m - 5 \cdot 2^m + 1$

Приравняем дискриминант к нулю:

$4 \cdot 4^m - 5 \cdot 2^m + 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^m$. Так как $2^m > 0$ для любого $m$, то $y > 0$. Тогда $4^m = (2^m)^2 = y^2$. Уравнение примет вид:

$4y^2 - 5y + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$:

$D_y = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$

$y_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$y_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Оба значения $y$ положительны, поэтому оба являются допустимыми.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $m$.

1. Если $y = \frac{1}{4}$:

$2^m = \frac{1}{4}$

$2^m = 2^{-2}$

$m = -2$

2. Если $y = 1$:

$2^m = 1$

$2^m = 2^0$

$m = 0$

Таким образом, уравнение имеет единственный корень при $m = -2$ и $m = 0$.

Ответ: $m=-2, m=0$.