Номер 12.45, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.45, страница 78.

12.45. a)

$\begin{cases} (\sqrt{3})^{x+2y} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{27}, \\ 0,1^x \cdot 10^{3y} = 10; \end{cases}$

B) $\begin{cases} (\sqrt{5})^{2x+y} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{5}, \\ (\frac{1}{5})^x \cdot 5^y = 125; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 27^y \cdot 3^x = 1, \\ (\frac{1}{2})^x \cdot 4^y = 2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 5^y \cdot 25^x = 625, \\ (\frac{1}{3})^x \cdot 9^y = \frac{1}{27}. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений: $ (\sqrt{3})^{x+2y} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} $ и $ 0.1^x \cdot 10^{3y} = 10 $.
Преобразуем первое уравнение. Упростим правую часть: $ \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81} = 9 $. Получаем уравнение $ (\sqrt{3})^{x+2y} = 9 $. Представим обе части как степени с основанием 3: $ (\sqrt{3})^{x+2y} = (3^{1/2})^{x+2y} = 3^{\frac{x+2y}{2}} $, а $ 9 = 3^2 $. Таким образом, $ 3^{\frac{x+2y}{2}} = 3^2 $. Приравнивая показатели степеней, получаем: $ \frac{x+2y}{2} = 2 $, откуда $ x + 2y = 4 $.
Преобразуем второе уравнение. Представим все его члены как степени с основанием 10: $ 0.1 = 10^{-1} $. Уравнение принимает вид $ (10^{-1})^x \cdot 10^{3y} = 10^1 $, или $ 10^{-x+3y} = 10^1 $. Приравнивая показатели степеней, получаем: $ -x + 3y = 1 $.
Теперь необходимо решить систему линейных уравнений:
$ x + 2y = 4 $
$ -x + 3y = 1 $
Сложим эти два уравнения: $ (x + 2y) + (-x + 3y) = 4 + 1 $, что дает $ 5y = 5 $, и, следовательно, $ y = 1 $. Подставим значение $ y = 1 $ в первое уравнение: $ x + 2(1) = 4 $, откуда $ x = 2 $.
Ответ: $ (2; 1) $.

б) Решим систему уравнений: $ 27^y \cdot 3^x = 1 $ и $ (\frac{1}{2})^x \cdot 4^y = 2 $.
Преобразуем первое уравнение, приведя все к основанию 3. Так как $ 27 = 3^3 $ и $ 1 = 3^0 $, уравнение принимает вид $ (3^3)^y \cdot 3^x = 3^0 $, или $ 3^{3y+x} = 3^0 $. Приравнивая показатели, получаем: $ x + 3y = 0 $.
Преобразуем второе уравнение, приведя все к основанию 2. Так как $ \frac{1}{2} = 2^{-1} $ и $ 4 = 2^2 $, уравнение принимает вид $ (2^{-1})^x \cdot (2^2)^y = 2^1 $, или $ 2^{-x+2y} = 2^1 $. Приравнивая показатели, получаем: $ -x + 2y = 1 $.
Теперь решаем систему линейных уравнений:
$ x + 3y = 0 $
$ -x + 2y = 1 $
Сложим уравнения: $ (x + 3y) + (-x + 2y) = 0 + 1 $, что дает $ 5y = 1 $, и, следовательно, $ y = \frac{1}{5} $. Подставим это значение в первое уравнение: $ x + 3(\frac{1}{5}) = 0 $, откуда $ x = -\frac{3}{5} $.
Ответ: $ (-\frac{3}{5}; \frac{1}{5}) $.

в) Решим систему уравнений: $ (\sqrt{5})^{2x+y} = \sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{5} $ и $ (\frac{1}{5})^x \cdot 5^y = 125 $.
Преобразуем первое уравнение. Упростим правую часть: $ \sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{\frac{1}{5} \cdot 5} = \sqrt{1} = 1 $. Уравнение становится $ (\sqrt{5})^{2x+y} = 1 $. Приведем обе части к основанию 5. Так как $ \sqrt{5} = 5^{1/2} $ и $ 1 = 5^0 $, получаем $ (5^{1/2})^{2x+y} = 5^0 $, или $ 5^{\frac{2x+y}{2}} = 5^0 $. Приравнивая показатели, имеем: $ \frac{2x+y}{2} = 0 $, откуда $ 2x + y = 0 $.
Преобразуем второе уравнение, приведя все к основанию 5. Так как $ \frac{1}{5} = 5^{-1} $ и $ 125 = 5^3 $, уравнение принимает вид $ (5^{-1})^x \cdot 5^y = 5^3 $, или $ 5^{-x+y} = 5^3 $. Приравнивая показатели, получаем: $ -x + y = 3 $.
Теперь решаем систему линейных уравнений:
$ 2x + y = 0 $
$ -x + y = 3 $
Вычтем второе уравнение из первого: $ (2x + y) - (-x + y) = 0 - 3 $, что дает $ 3x = -3 $, откуда $ x = -1 $. Подставим $ x = -1 $ в первое уравнение: $ 2(-1) + y = 0 \Rightarrow -2 + y = 0 \Rightarrow y = 2 $.
Ответ: $ (-1; 2) $.

г) Решим систему уравнений: $ 5^y \cdot 25^x = 625 $ и $ (\frac{1}{3})^x \cdot 9^y = \frac{1}{27} $.
Преобразуем первое уравнение, приведя все к основанию 5. Так как $ 25 = 5^2 $ и $ 625 = 5^4 $, уравнение принимает вид $ 5^y \cdot (5^2)^x = 5^4 $, или $ 5^{y+2x} = 5^4 $. Приравнивая показатели, получаем: $ 2x + y = 4 $.
Преобразуем второе уравнение, приведя все к основанию 3. Так как $ \frac{1}{3} = 3^{-1} $, $ 9 = 3^2 $ и $ \frac{1}{27} = 3^{-3} $, уравнение принимает вид $ (3^{-1})^x \cdot (3^2)^y = 3^{-3} $, или $ 3^{-x+2y} = 3^{-3} $. Приравнивая показатели, получаем: $ -x + 2y = -3 $.
Теперь решаем систему линейных уравнений:
$ 2x + y = 4 $
$ -x + 2y = -3 $
Из первого уравнения выразим $ y $: $ y = 4 - 2x $. Подставим это выражение во второе уравнение: $ -x + 2(4 - 2x) = -3 \Rightarrow -x + 8 - 4x = -3 \Rightarrow -5x = -11 \Rightarrow x = \frac{11}{5} $. Найдем $ y $, подставив значение $ x $ в выражение для $ y $: $ y = 4 - 2(\frac{11}{5}) = \frac{20}{5} - \frac{22}{5} = -\frac{2}{5} $.
Ответ: $ (\frac{11}{5}; -\frac{2}{5}) $.