Номер 12.40, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.40, страница 78.

12.40. При каких значениях параметра a уравнение не имеет корней:

a) $48 \cdot 4^x + 27 = a + a \cdot 4^{x+2};$

б) $9^x + 2a \cdot 3^{x+1} + 9 = 0?$

а)

Рассмотрим уравнение $48 \cdot 4^x + 27 = a + a \cdot 4^{x+2}$.

Преобразуем уравнение, сгруппировав члены, содержащие $4^x$:

$48 \cdot 4^x - a \cdot 4^{x+2} = a - 27$

$48 \cdot 4^x - a \cdot 4^x \cdot 4^2 = a - 27$

$48 \cdot 4^x - 16a \cdot 4^x = a - 27$

$(48 - 16a) \cdot 4^x = a - 27$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 4^x$. Поскольку показательная функция $y=4^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$(48 - 16a) \cdot t = a - 27$

Исходное уравнение не имеет корней, если это линейное уравнение относительно $t$ не имеет положительных корней ($t > 0$).

Рассмотрим два случая:

1. Коэффициент при $t$ равен нулю.

$48 - 16a = 0 \implies 16a = 48 \implies a = 3$.

Подставим $a=3$ в уравнение:

$0 \cdot t = 3 - 27$

$0 \cdot t = -24$

Это уравнение не имеет решений для $t$, следовательно, исходное уравнение также не имеет корней. Значит, $a=3$ является решением.

2. Коэффициент при $t$ не равен нулю.

$48 - 16a \neq 0 \implies a \neq 3$.

В этом случае можно выразить $t$:

$t = \frac{a - 27}{48 - 16a} = \frac{a - 27}{16(3 - a)}$

Уравнение не будет иметь корней, если решение для $t$ не удовлетворяет условию $t > 0$, то есть если $t \le 0$.

$\frac{a - 27}{16(3 - a)} \le 0$

Поскольку $16 > 0$, знак дроби определяется знаками числителя и знаменателя:

$\frac{a - 27}{3 - a} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $a=27$ и $a=3$.

Неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки (или числитель равен нулю).

• Если $a \ge 27$, то $a-27 \ge 0$ и $3-a < 0$. Дробь $\le 0$. Этот случай подходит.
• Если $a < 3$, то $a-27 < 0$ и $3-a > 0$. Дробь $< 0$. Этот случай подходит.
• Если $3 < a < 27$, то $a-27 < 0$ и $3-a < 0$. Дробь $> 0$. Этот случай не подходит.

Таким образом, решение неравенства: $a \in (-\infty, 3) \cup [27, \infty)$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что исходное уравнение не имеет корней при $a \in (-\infty, 3] \cup [27, \infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty, 3] \cup [27, \infty)$.

б)

Рассмотрим уравнение $9^x + 2a \cdot 3^{x+1} + 9 = 0$.

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$(3^2)^x + 2a \cdot 3^x \cdot 3^1 + 9 = 0$

$(3^x)^2 + 6a \cdot 3^x + 9 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как $t$ является значением показательной функции, то $t > 0$.

Уравнение становится квадратным относительно $t$:

$t^2 + 6at + 9 = 0$

Исходное уравнение не имеет корней, если это квадратное уравнение не имеет положительных корней.

Это возможно в двух случаях:

1. Квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Это происходит, когда дискриминант $D$ отрицателен.

$D = (6a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36a^2 - 36$

$D < 0 \implies 36a^2 - 36 < 0 \implies a^2 - 1 < 0 \implies (a-1)(a+1) < 0$

Решением этого неравенства является интервал $a \in (-1, 1)$.

2. Квадратное уравнение имеет действительные корни (один или два), но все они неположительные ($t \le 0$).

Это происходит, когда $D \ge 0$ и, согласно теореме Виета, оба корня $t_1$ и $t_2$ неположительны. Для параболы $f(t)=t^2+6at+9$ с ветвями вверх это означает, что $D \ge 0$, сумма корней $t_1+t_2 \le 0$ и произведение корней $t_1 \cdot t_2 \ge 0$.

Проверим эти условия:

• $D \ge 0 \implies 36a^2 - 36 \ge 0 \implies a^2 \ge 1 \implies a \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
• Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 9$. Так как $9>0$, корни имеют одинаковый знак. Если они существуют, они либо оба положительные, либо оба отрицательные. Нулевых корней быть не может, так как подстановка $t=0$ в уравнение дает $9=0$, что неверно.
• Сумма корней: $t_1 + t_2 = -6a$. Чтобы оба корня были отрицательными, их сумма должна быть отрицательной: $-6a < 0 \implies a > 0$.

Найдем пересечение условий для этого случая: $a \in ((-\infty, -1] \cup [1, \infty))$ и $a > 0$.

Пересечением является промежуток $a \in [1, \infty)$.

Теперь объединим результаты обоих случаев.

Из случая 1: $a \in (-1, 1)$.

Из случая 2: $a \in [1, \infty)$.

Объединение этих множеств дает: $(-1, 1) \cup [1, \infty) = (-1, \infty)$.

Ответ: $a \in (-1, \infty)$.