Номер 12.38, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.38, страница 78.

12.38. Решите уравнение:

а) $9^x + 6^x = 2^{2x+1}$;

б) $25^{2x+6} + 16 \cdot 4^{2x+4} = 20 \cdot 10^{2x+5}$.

а) $9^x + 6^x = 2^{2x+1}$

Запишем уравнение, приведя все основания к простым множителям 2 и 3:

$(3^2)^x + (2 \cdot 3)^x = 2^{2x} \cdot 2^1$

$3^{2x} + 2^x \cdot 3^x = 2 \cdot 2^{2x}$

Данное уравнение является однородным показательным уравнением. Разделим обе части уравнения на $2^{2x}$. Так как $2^{2x} > 0$ при любом значении $x$, эта операция является равносильной.

$\frac{3^{2x}}{2^{2x}} + \frac{2^x \cdot 3^x}{2^{2x}} = \frac{2 \cdot 2^{2x}}{2^{2x}}$

$(\frac{3}{2})^{2x} + (\frac{3}{2})^x = 2$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{3}{2})^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + t = 2$

$t^2 + t - 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, корни уравнения:

$t_1 = 1$

$t_2 = -2$

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Вернемся к исходной переменной, используя корень $t_1 = 1$:

$(\frac{3}{2})^x = 1$

Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, запишем 1 как $(\frac{3}{2})^0$:

$(\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^0$

Отсюда следует, что $x=0$.

Ответ: $x=0$.

б) $25^{2x+6} + 16 \cdot 4^{2x+4} = 20 \cdot 10^{2x+5}$

Приведем все основания к простым множителям 2 и 5 и преобразуем степени:

$(5^2)^{2x+6} + 2^4 \cdot (2^2)^{2x+4} = (4 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5)^{2x+5}$

$5^{2(2x+6)} + 2^4 \cdot 2^{2(2x+4)} = 2^2 \cdot 5 \cdot 2^{2x+5} \cdot 5^{2x+5}$

$5^{4x+12} + 2^4 \cdot 2^{4x+8} = 2^{2x+7} \cdot 5^{2x+6}$

Этот путь выглядит сложным. Попробуем привести степени к одному показателю. Выразим все степени через показатель $2x+5$:

$25^{2x+6} = 25^{2x+5+1} = 25^1 \cdot 25^{2x+5} = 25 \cdot (5^2)^{2x+5}$

$16 \cdot 4^{2x+4} = 16 \cdot 4^{2x+5-1} = 16 \cdot 4^{-1} \cdot 4^{2x+5} = \frac{16}{4} \cdot 4^{2x+5} = 4 \cdot (2^2)^{2x+5}$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$25 \cdot 25^{2x+5} + 4 \cdot 4^{2x+5} = 20 \cdot 10^{2x+5}$

Разделим обе части уравнения на $10^{2x+5}$, так как $10^{2x+5} > 0$ при любом $x$:

$25 \cdot \frac{25^{2x+5}}{10^{2x+5}} + 4 \cdot \frac{4^{2x+5}}{10^{2x+5}} = 20 \cdot \frac{10^{2x+5}}{10^{2x+5}}$

$25 \cdot (\frac{25}{10})^{2x+5} + 4 \cdot (\frac{4}{10})^{2x+5} = 20$

$25 \cdot (\frac{5}{2})^{2x+5} + 4 \cdot (\frac{2}{5})^{2x+5} = 20$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{5}{2})^{2x+5}$. Тогда $(\frac{2}{5})^{2x+5} = ((\frac{5}{2})^{-1})^{2x+5} = t^{-1} = \frac{1}{t}$. Условие на замену: $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$25t + 4 \cdot \frac{1}{t} = 20$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \ne 0$):

$25t^2 + 4 = 20t$

$25t^2 - 20t + 4 = 0$

Это полный квадрат разности: $(5t)^2 - 2 \cdot (5t) \cdot 2 + 2^2 = 0$.

$(5t - 2)^2 = 0$

Отсюда $5t - 2 = 0$, следовательно $t = \frac{2}{5}$.

Корень $t = \frac{2}{5}$ удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной:

$(\frac{5}{2})^{2x+5} = \frac{2}{5}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{5}{2}$:

$(\frac{5}{2})^{2x+5} = (\frac{5}{2})^{-1}$

Приравняем показатели степеней:

$2x+5 = -1$

$2x = -6$

$x = -3$

Ответ: $x=-3$.