Номер 12.46, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.46, страница 79.

12.46. a) $\begin{cases} \sqrt{3^{x-1}} \cdot \sqrt{9^y} = 27, \\ 2^{2x+y} : 2^x = 64; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt{6^{x-2y}} : \sqrt{6^x} = \frac{1}{6}, \\ \left(\frac{1}{3}\right)^{2x-y} \cdot 3^{x-2y} = \frac{1}{3}. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{3^{x-1}} \cdot \sqrt{9^y} = 27 \\ 2^{2x+y} : 2^x = 64 \end{cases}$

Сначала преобразуем первое уравнение системы. Используем свойства степеней и корней: $\sqrt{a} = a^{1/2}$, $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.

$\sqrt{3^{x-1}} \cdot \sqrt{(3^2)^y} = 3^3$
$(3^{x-1})^{1/2} \cdot (3^{2y})^{1/2} = 3^3$
$3^{\frac{x-1}{2}} \cdot 3^{\frac{2y}{2}} = 3^3$
$3^{\frac{x-1}{2}} \cdot 3^y = 3^3$

Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{\frac{x-1}{2} + y} = 3^3$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$\frac{x-1}{2} + y = 3$
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:
$x - 1 + 2y = 6$
$x + 2y = 7$

Теперь преобразуем второе уравнение системы. Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$ и представим $64$ как степень двойки: $64 = 2^6$.

$2^{(2x+y) - x} = 2^6$
$2^{x+y} = 2^6$

Приравниваем показатели степеней:

$x + y = 6$

В результате мы получили систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x + 2y = 7 \\ x + y = 6 \end{cases}$

Для решения этой системы выразим $x$ из второго уравнения: $x = 6 - y$. Затем подставим это выражение в первое уравнение:

$(6 - y) + 2y = 7$
$6 + y = 7$
$y = 7 - 6$
$y = 1$

Теперь, зная значение $y$, найдем $x$:

$x = 6 - y = 6 - 1 = 5$

Решением системы является пара чисел $(5; 1)$.

Ответ: $(5; 1)$.

---

б) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{6^{x-2y}} : \sqrt{6^x} = \frac{1}{6} \\ (\frac{1}{3})^{2x-y} \cdot 3^{x-2y} = \frac{1}{3} \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение. Используем свойства степеней и корней: $\sqrt{a} = a^{1/2}$ и $\frac{1}{a} = a^{-1}$.

$(6^{x-2y})^{1/2} : (6^x)^{1/2} = 6^{-1}$
$6^{\frac{x-2y}{2}} : 6^{\frac{x}{2}} = 6^{-1}$

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$6^{\frac{x-2y}{2} - \frac{x}{2}} = 6^{-1}$
$6^{\frac{x-2y-x}{2}} = 6^{-1}$
$6^{\frac{-2y}{2}} = 6^{-1}$
$6^{-y} = 6^{-1}$

Приравниваем показатели степеней:

$-y = -1$
$y = 1$

Теперь преобразуем второе уравнение системы. Используем свойство $\frac{1}{a} = a^{-1}$.

$(3^{-1})^{2x-y} \cdot 3^{x-2y} = 3^{-1}$
$3^{-(2x-y)} \cdot 3^{x-2y} = 3^{-1}$
$3^{-2x+y} \cdot 3^{x-2y} = 3^{-1}$

Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{(-2x+y) + (x-2y)} = 3^{-1}$
$3^{-x-y} = 3^{-1}$

Приравниваем показатели степеней:

$-x-y = -1$
$x+y = 1$

Мы получили значение $y=1$ из первого уравнения. Подставим его в преобразованное второе уравнение $x+y=1$:

$x + 1 = 1$
$x = 0$

Решением системы является пара чисел $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$.