Номер 13.16, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.16, страница 81.

13.16. a) $3^{\frac{x-4}{x}-3} < \frac{1}{27}$;

В) $8^{\frac{2-x}{x}-2} > \frac{1}{64}$;

б) $(\frac{8}{9})^{\frac{6x-1}{x}-1} \ge \frac{81}{64}$;

Г) $(\frac{6}{11})^{\frac{5x+1}{x}+1} \le \frac{121}{36}$.

а)

Исходное неравенство:

$3^{\frac{x-4}{x} - 3} < \frac{1}{27}$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 3:

$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$

Теперь неравенство выглядит так:

$3^{\frac{x-4}{x} - 3} < 3^{-3}$

Так как основание степени $3 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Это означает, что для показателей степени знак неравенства сохраняется:

$\frac{x-4}{x} - 3 < -3$

Прибавим 3 к обеим частям:

$\frac{x-4}{x} < 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.

Нуль знаменателя: $x = 0$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому точка $x=0$ будет выколотой.

Отметим точки 0 и 4 на числовой прямой и определим знаки выражения $\frac{x-4}{x}$ на полученных интервалах:

• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{-1-4}{-1} = 5 > 0$
• При $0 < x < 4$ (например, $x=1$): $\frac{1-4}{1} = -3 < 0$
• При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{5-4}{5} = 0.2 > 0$

Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля. Это интервал $(0; 4)$.

Ответ: $x \in (0; 4)$.

б)

Исходное неравенство:

$(\frac{8}{9})^{\frac{6x-1}{x} - 1} \ge \frac{81}{64}$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $\frac{8}{9}$:

$\frac{81}{64} = \frac{9^2}{8^2} = (\frac{9}{8})^2 = ((\frac{8}{9})^{-1})^2 = (\frac{8}{9})^{-2}$

Теперь неравенство выглядит так:

$(\frac{8}{9})^{\frac{6x-1}{x} - 1} \ge (\frac{8}{9})^{-2}$

Так как основание степени $0 < \frac{8}{9} < 1$, то показательная функция является убывающей. Это означает, что при переходе к показателям степени знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{6x-1}{x} - 1 \le -2$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{6x-1}{x} - 1 + 2 \le 0$

$\frac{6x-1}{x} + 1 \le 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{6x-1+x}{x} \le 0$

$\frac{7x-1}{x} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $7x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{7}$. Точка включается в решение.

Нуль знаменателя: $x = 0$. Точка выкалывается.

Отметим точки 0 и $\frac{1}{7}$ на числовой прямой и определим знаки выражения $\frac{7x-1}{x}$ на интервалах:

• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{7(-1)-1}{-1} = 8 > 0$
• При $0 < x \le \frac{1}{7}$ (например, $x=0.1$): $\frac{7(0.1)-1}{0.1} = -3 \le 0$
• При $x > \frac{1}{7}$ (например, $x=1$): $\frac{7(1)-1}{1} = 6 > 0$

Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал $(0; \frac{1}{7}]$.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{7}]$.

в)

Исходное неравенство:

$8^{\frac{2-x}{x} - 2} > \frac{1}{64}$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 8:

$\frac{1}{64} = \frac{1}{8^2} = 8^{-2}$

Теперь неравенство выглядит так:

$8^{\frac{2-x}{x} - 2} > 8^{-2}$

Так как основание степени $8 > 1$, показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей степени сохраняется:

$\frac{2-x}{x} - 2 > -2$

Прибавим 2 к обеим частям:

$\frac{2-x}{x} > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $2 - x = 0 \Rightarrow x = 2$.

Нуль знаменателя: $x = 0$.

Обе точки выколотые. Отметим их на числовой прямой и определим знаки выражения $\frac{2-x}{x}$ на интервалах:

• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{2-(-1)}{-1} = -3 < 0$
• При $0 < x < 2$ (например, $x=1$): $\frac{2-1}{1} = 1 > 0$
• При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{2-3}{3} = -\frac{1}{3} < 0$

Нам нужен интервал, где выражение больше нуля. Это интервал $(0; 2)$.

Ответ: $x \in (0; 2)$.

г)

Исходное неравенство:

$(\frac{6}{11})^{\frac{5x+1}{x} + 1} \le \frac{121}{36}$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $\frac{6}{11}$:

$\frac{121}{36} = \frac{11^2}{6^2} = (\frac{11}{6})^2 = ((\frac{6}{11})^{-1})^2 = (\frac{6}{11})^{-2}$

Теперь неравенство выглядит так:

$(\frac{6}{11})^{\frac{5x+1}{x} + 1} \le (\frac{6}{11})^{-2}$

Так как основание степени $0 < \frac{6}{11} < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе к показателям степени знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{5x+1}{x} + 1 \ge -2$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{5x+1}{x} + 1 + 2 \ge 0$

$\frac{5x+1}{x} + 3 \ge 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{5x+1+3x}{x} \ge 0$

$\frac{8x+1}{x} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $8x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{8}$. Точка включается в решение.

Нуль знаменателя: $x = 0$. Точка выкалывается.

Отметим точки $-\frac{1}{8}$ и 0 на числовой прямой и определим знаки выражения $\frac{8x+1}{x}$ на интервалах:

• При $x < -\frac{1}{8}$ (например, $x=-1$): $\frac{8(-1)+1}{-1} = 7 > 0$
• При $-\frac{1}{8} \le x < 0$ (например, $x=-0.1$): $\frac{8(-0.1)+1}{-0.1} = -2 < 0$
• При $x > 0$ (например, $x=1$): $\frac{8(1)+1}{1} = 9 > 0$

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы $(-\infty; -\frac{1}{8}]$ и $(0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{8}] \cup (0; +\infty)$.