Номер 13.21, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.21, страница 82.

13.21. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства (если оно существует):

a) $2,5^{2x+3} \le 6,25;$

б) $(\frac{2}{5})^{7x-9} \ge \frac{8}{125};$

в) $1,1^{5x-3} < 1,21;$

г) $0,7^{9x+4} > 0,49.$

а) $2,5^{2x+3} \le 6,25$

Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. Заметим, что правая часть $6,25$ является квадратом левой части $2,5$.

$6,25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^2 = 2,5^2$.

Теперь неравенство имеет вид:

$2,5^{2x+3} \le 2,5^2$

Так как основание степени $2,5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$2x+3 \le 2$

Решим полученное линейное неравенство:

$2x \le 2 - 3$

$2x \le -1$

$x \le -\frac{1}{2}$

$x \le -0,5$

Множество решений неравенства — это все числа, меньшие или равные $-0,5$. Нам нужно найти наибольшее целое решение. Целые числа, удовлетворяющие этому условию: ..., -3, -2, -1. Наибольшее из них — -1.

Ответ: -1

б) $(\frac{2}{5})^{7x-9} \ge \frac{8}{125}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{2}{5}$.

$\frac{8}{125} = \frac{2^3}{5^3} = (\frac{2}{5})^3$.

Подставим это в исходное неравенство:

$(\frac{2}{5})^{7x-9} \ge (\frac{2}{5})^3$

Основание степени $\frac{2}{5} = 0,4$. Так как $0 < \frac{2}{5} < 1$, показательная функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$7x-9 \le 3$

Решим линейное неравенство:

$7x \le 3 + 9$

$7x \le 12$

$x \le \frac{12}{7}$

Чтобы найти наибольшее целое решение, оценим значение дроби: $\frac{12}{7} = 1\frac{5}{7} \approx 1,71$.

Нам нужны целые числа, которые меньше или равны $1\frac{5}{7}$. Это числа ..., 0, 1. Наибольшее из них — 1.

Ответ: 1

в) $1,1^{5x-3} < 1,21$

Приведем обе части к основанию $1,1$. Заметим, что $1,21 = 1,1^2$.

Неравенство принимает вид:

$1,1^{5x-3} < 1,1^2$

Так как основание степени $1,1 > 1$, показательная функция возрастает. При переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

$5x-3 < 2$

Решим полученное неравенство:

$5x < 2 + 3$

$5x < 5$

$x < 1$

Требуется найти наибольшее целое число, которое строго меньше 1. Это число 0.

Ответ: 0

г) $0,7^{9x+4} > 0,49$

Приведем обе части неравенства к основанию $0,7$. Правая часть $0,49 = 0,7^2$.

Неравенство можно переписать так:

$0,7^{9x+4} > 0,7^2$

Основание степени $0,7$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому показательная функция является убывающей. При переходе от степеней к их показателям знак неравенства меняется на противоположный:

$9x+4 < 2$

Решим это линейное неравенство:

$9x < 2 - 4$

$9x < -2$

$x < -\frac{2}{9}$

Оценим значение дроби: $-\frac{2}{9} \approx -0,22$. Нам нужно найти наибольшее целое число, которое строго меньше $-\frac{2}{9}$. Целые числа, удовлетворяющие этому условию: ..., -3, -2, -1. Наибольшее из них — -1.

Ответ: -1