Номер 13.28, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.28, страница 83.

Решите неравенство:

13.28. a) $\frac{5}{12^x + 143} \ge \frac{5}{12^{x+2}}$

Б) $\frac{16^x + 42}{16^x} \le 22$

В) $\frac{8}{11^x + 120} \le \frac{8}{11^{x+2}}$

Г) $\frac{5^x + 15}{5^x} < 4$

а)

Дано неравенство: $ \frac{5}{12^x + 143} \ge \frac{5}{12^{x+2}} $.
Поскольку показательная функция $ y=12^x $ принимает только положительные значения, то есть $12^x > 0$ для любого действительного $x$, оба знаменателя в неравенстве всегда положительны: $12^x + 143 > 0$ и $12^{x+2} > 0$.
Разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 > 0, знак неравенства не изменится:
$ \frac{1}{12^x + 143} \ge \frac{1}{12^{x+2}} $.
Поскольку обе части неравенства положительны, мы можем "перевернуть" дроби, изменив знак неравенства на противоположный:
$ 12^x + 143 \le 12^{x+2} $.
Преобразуем правую часть, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$ 12^{x+2} = 12^x \cdot 12^2 = 144 \cdot 12^x $.
Подставим это в неравенство:
$ 12^x + 143 \le 144 \cdot 12^x $.
Для удобства решения введем замену: пусть $t = 12^x$. Так как $12^x > 0$, то $t > 0$.
$ t + 143 \le 144t $.
Перенесем слагаемые с $t$ в одну сторону:
$ 143 \le 144t - t $.
$ 143 \le 143t $.
Разделим на 143:
$ 1 \le t $.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$:
$ 1 \le 12^x $.
Представим 1 в виде степени с основанием 12: $1 = 12^0$.
$ 12^0 \le 12^x $.
Так как основание степени 12 больше 1, показательная функция $y=12^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует больший показатель степени. Следовательно, мы можем сравнить показатели, сохранив знак неравенства:
$ 0 \le x $.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

б)

Дано неравенство: $ \frac{16^x + 42}{16^x} \le 22 $.
Введем замену: пусть $t = 16^x$. Так как $16^x > 0$, то $t > 0$.
Неравенство принимает вид:
$ \frac{t + 42}{t} \le 22 $.
Разделим числитель на знаменатель почленно:
$ \frac{t}{t} + \frac{42}{t} \le 22 $.
$ 1 + \frac{42}{t} \le 22 $.
$ \frac{42}{t} \le 21 $.
Так как $t > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $t$, не меняя знака неравенства:
$ 42 \le 21t $.
Разделим обе части на 21:
$ 2 \le t $.
Вернемся к переменной $x$:
$ 2 \le 16^x $.
Чтобы решить это показательное неравенство, представим обе части в виде степеней с одним основанием, например, 2. Так как $16 = 2^4$:
$ 2^1 \le (2^4)^x $.
$ 2^1 \le 2^{4x} $.
Так как основание степени 2 больше 1, функция $y=2^z$ возрастающая, поэтому можно перейти к сравнению показателей:
$ 1 \le 4x $.
$ \frac{1}{4} \le x $.

Ответ: $x \in [\frac{1}{4}, +\infty)$.

в)

Дано неравенство: $ \frac{8}{11^x + 120} \le \frac{8}{11^{x+2}} $.
Поскольку $11^x > 0$ для любого $x$, оба знаменателя положительны.
Разделим обе части на 8:
$ \frac{1}{11^x + 120} \le \frac{1}{11^{x+2}} $.
Так как обе части положительны, "перевернем" дроби, изменив знак неравенства на противоположный:
$ 11^x + 120 \ge 11^{x+2} $.
Преобразуем правую часть: $11^{x+2} = 11^x \cdot 11^2 = 121 \cdot 11^x$.
$ 11^x + 120 \ge 121 \cdot 11^x $.
Введем замену: пусть $t = 11^x$, где $t > 0$.
$ t + 120 \ge 121t $.
$ 120 \ge 121t - t $.
$ 120 \ge 120t $.
$ 1 \ge t $.
С учетом условия $t > 0$, получаем двойное неравенство $0 < t \le 1$.
Вернемся к переменной $x$:
$ 0 < 11^x \le 1 $.
Неравенство $11^x > 0$ верно для всех действительных $x$. Решим вторую часть:
$ 11^x \le 1 $.
Представим 1 как $11^0$:
$ 11^x \le 11^0 $.
Так как основание 11 больше 1, функция $y=11^x$ возрастающая, поэтому переходим к сравнению показателей:
$ x \le 0 $.

Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.

г)

Дано неравенство: $ \frac{5^x + 15}{5^x} < 4 $.
Введем замену: пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.
$ \frac{t + 15}{t} < 4 $.
Разделим числитель на знаменатель почленно:
$ 1 + \frac{15}{t} < 4 $.
$ \frac{15}{t} < 3 $.
Так как $t > 0$, умножим обе части на $t$:
$ 15 < 3t $.
$ 5 < t $.
Вернемся к переменной $x$:
$ 5 < 5^x $.
Представим 5 как $5^1$:
$ 5^1 < 5^x $.
Так как основание 5 больше 1, функция $y=5^x$ возрастающая. Сравниваем показатели:
$ 1 < x $.

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.