Номер 13.31, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.31, страница 83.

13.31. a) $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x + 2 \ge 0;$

б) $3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3 < 0;$

в) $(\frac{1}{4})^{2x-1} + 15 \cdot (\frac{1}{4})^x - 4 < 0;$

г) $(0,5)^{2x-1} + 3 \cdot (0,5)^x - 2 \ge 0.$

а) $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x + 2 \ge 0$

Преобразуем неравенство, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$2^{2x} \cdot 2^1 - 5 \cdot 2^x + 2 \ge 0$

$2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 2 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$2t^2 - 5t + 2 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $t_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.

Парабола $y = 2t^2 - 5t + 2$ ветвями направлена вверх (коэффициент при $t^2$ положителен), поэтому неравенство $2t^2 - 5t + 2 \ge 0$ выполняется при $t \le t_1$ или $t \ge t_2$.

Таким образом, $t \le \frac{1}{2}$ или $t \ge 2$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем: $0 < t \le \frac{1}{2}$ или $t \ge 2$.

Выполним обратную замену $t = 2^x$:

1) $0 < 2^x \le \frac{1}{2}$. Неравенство $0 < 2^x$ верно для любого $x$. Решаем $2^x \le \frac{1}{2}$, то есть $2^x \le 2^{-1}$. Так как основание степени $2 > 1$, то $x \le -1$.

2) $2^x \ge 2$. То есть $2^x \ge 2^1$. Так как основание степени $2 > 1$, то $x \ge 1$.

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

б) $3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3 < 0$

Преобразуем неравенство:

$3 \cdot 3^{2x} - 10 \cdot 3^x + 3 < 0$

$3 \cdot (3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 3 < 0$

Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$. Неравенство принимает вид:

$3t^2 - 10t + 3 < 0$

Найдем корни уравнения $3t^2 - 10t + 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

Корни: $t_1 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$; $t_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.

Парабола $y = 3t^2 - 10t + 3$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $3t^2 - 10t + 3 < 0$ выполняется между корнями: $t_1 < t < t_2$.

$\frac{1}{3} < t < 3$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену $t = 3^x$:

$\frac{1}{3} < 3^x < 3$

$3^{-1} < 3^x < 3^1$

Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

$-1 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

в) $(\frac{1}{4})^{2x-1} + 15 \cdot (\frac{1}{4})^x - 4 < 0$

Преобразуем первый член неравенства: $(\frac{1}{4})^{2x-1} = (\frac{1}{4})^{2x} \cdot (\frac{1}{4})^{-1} = 4 \cdot ((\frac{1}{4})^x)^2$.

Неравенство принимает вид:

$4 \cdot ((\frac{1}{4})^x)^2 + 15 \cdot (\frac{1}{4})^x - 4 < 0$

Пусть $t = (\frac{1}{4})^x$, где $t > 0$.

$4t^2 + 15t - 4 < 0$

Найдем корни уравнения $4t^2 + 15t - 4 = 0$.

Дискриминант $D = 15^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2$.

Корни: $t_1 = \frac{-15 - 17}{2 \cdot 4} = \frac{-32}{8} = -4$; $t_2 = \frac{-15 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Парабола $y = 4t^2 + 15t - 4$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $-4 < t < \frac{1}{4}$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t < \frac{1}{4}$.

Выполним обратную замену $t = (\frac{1}{4})^x$:

$0 < (\frac{1}{4})^x < \frac{1}{4}$

Решаем правую часть неравенства: $(\frac{1}{4})^x < (\frac{1}{4})^1$.

Так как основание степени $\frac{1}{4} < 1$, то при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 1$.

Ответ: $x \in (1, \infty)$.

г) $(0,5)^{2x-1} + 3 \cdot (0,5)^x - 2 \ge 0$

Запишем $0,5$ как $\frac{1}{2}$: $(\frac{1}{2})^{2x-1} + 3 \cdot (\frac{1}{2})^x - 2 \ge 0$.

Преобразуем первый член: $(\frac{1}{2})^{2x-1} = (\frac{1}{2})^{2x} \cdot (\frac{1}{2})^{-1} = 2 \cdot ((\frac{1}{2})^x)^2$.

Неравенство принимает вид:

$2 \cdot ((\frac{1}{2})^x)^2 + 3 \cdot (\frac{1}{2})^x - 2 \ge 0$

Пусть $t = (\frac{1}{2})^x$, где $t > 0$.

$2t^2 + 3t - 2 \ge 0$

Найдем корни уравнения $2t^2 + 3t - 2 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Корни: $t_1 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$; $t_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Парабола $y = 2t^2 + 3t - 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $t \le t_1$ или $t \ge t_2$.

$t \le -2$ или $t \ge \frac{1}{2}$.

Учитывая условие $t > 0$, остается только $t \ge \frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену $t = (\frac{1}{2})^x$:

$(\frac{1}{2})^x \ge \frac{1}{2}$

$(\frac{1}{2})^x \ge (\frac{1}{2})^1$

Так как основание степени $\frac{1}{2} < 1$, то при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1]$.