Номер 13.30, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.30, страница 83.

13.30. a) $(3^x - 1)(3^{2x} + 3^x + 1) \le 0$;

б) $(7^x + 1)(7^{2x} - 7^x + 1) \ge 0$;

в) $(0,2^x - 0,2)(0,04^x + 0,2^{x+1} + 0,04) < 0$;

г) $\left(\left(\frac{2}{3}\right)^x - \frac{9}{4}\right) \cdot \left(\left(\frac{4}{9}\right)^x + \left(\frac{2}{3}\right)^{x-2} + \frac{81}{16}\right) > 0$.

а) $(3^x - 1)(3^{2x} + 3^x + 1) \le 0$

Заметим, что левая часть неравенства представляет собой формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a = 3^x$ и $b = 1$.
Таким образом, неравенство можно переписать в виде:
$(3^x)^3 - 1^3 \le 0$
$3^{3x} - 1 \le 0$
$3^{3x} \le 1$
Представим 1 как степень с основанием 3: $1 = 3^0$.
$3^{3x} \le 3^0$
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. При сравнении показателей знак неравенства сохраняется:
$3x \le 0$
$x \le 0$

Другой способ решения — рассмотреть каждый множитель отдельно.
Первый множитель: $3^x - 1$.
Второй множитель: $3^{2x} + 3^x + 1$. Сделаем замену $t = 3^x$, где $t > 0$. Выражение примет вид $t^2 + t + 1$. Это квадратичная парабола с ветвями вверх. Найдем ее дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$, выражение $t^2 + t + 1$ всегда положительно. Следовательно, множитель $3^{2x} + 3^x + 1$ всегда больше нуля при любом значении $x$.
Мы можем разделить обе части неравенства на положительное выражение $3^{2x} + 3^x + 1$, не меняя знака неравенства:
$3^x - 1 \le 0$
$3^x \le 1$
$3^x \le 3^0$
$x \le 0$

Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.

б) $(7^x + 1)(7^{2x} - 7^x + 1) \ge 0$

Заметим, что левая часть неравенства представляет собой формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a = 7^x$ и $b = 1$.
Таким образом, неравенство можно переписать в виде:
$(7^x)^3 + 1^3 \ge 0$
$7^{3x} + 1 \ge 0$
$7^{3x} \ge -1$
Поскольку показательная функция $y = 7^t$ всегда принимает только положительные значения ($7^{3x} > 0$ для любого $x$), то неравенство $7^{3x} \ge -1$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Другой способ решения — рассмотреть каждый множитель отдельно.
Первый множитель: $7^x + 1$. Так как $7^x > 0$ для любого $x$, то $7^x + 1 > 1$, то есть этот множитель всегда положителен.
Второй множитель: $7^{2x} - 7^x + 1$. Сделаем замену $t = 7^x$, где $t > 0$. Выражение примет вид $t^2 - t + 1$. Это квадратичная парабола с ветвями вверх. Найдем ее дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$, выражение $t^2 - t + 1$ всегда положительно. Следовательно, множитель $7^{2x} - 7^x + 1$ всегда больше нуля при любом значении $x$.
Произведение двух положительных выражений всегда положительно. Таким образом, неравенство выполняется для любых $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

в) $(0,2^x - 0,2)(0,04^x + 0,2^{x+1} + 0,04) < 0$

Преобразуем выражение во второй скобке:
$0,04^x + 0,2^{x+1} + 0,04 = (0,2^2)^x + 0,2 \cdot 0,2^x + 0,2^2 = (0,2^x)^2 + 0,2 \cdot 0,2^x + 0,04$.
Сделаем замену $t = 0,2^x$, где $t > 0$. Неравенство примет вид:
$(t - 0,2)(t^2 + 0,2t + 0,04) < 0$.
Рассмотрим второй множитель $t^2 + 0,2t + 0,04$. Это квадратичная парабола с ветвями вверх. Найдем ее дискриминант: $D = (0,2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,04 = 0,04 - 0,16 = -0,12$. Так как $D < 0$, выражение $t^2 + 0,2t + 0,04$ всегда положительно при любом $t$.
Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на положительное выражение $t^2 + 0,2t + 0,04$, не меняя знака неравенства:
$t - 0,2 < 0$
$t < 0,2$
Вернемся к переменной $x$:
$0,2^x < 0,2^1$
Так как основание степени $0,2 \in (0, 1)$, показательная функция является убывающей. При сравнении показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x > 1$

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

г) $\left( \left(\frac{2}{3}\right)^x - \frac{9}{4} \right) \cdot \left( \left(\frac{4}{9}\right)^x + \left(\frac{2}{3}\right)^{x-2} + \frac{81}{16} \right) > 0$

Приведем все степени к одному основанию $\frac{2}{3}$:
$\frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$
$\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \Rightarrow \left(\frac{4}{9}\right)^x = \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^{2x}$
$\left(\frac{2}{3}\right)^{x-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$
$\frac{81}{16} = \left(\frac{9}{4}\right)^2 = \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-4}$
Подставим в неравенство:
$\left( \left(\frac{2}{3}\right)^x - \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \right) \cdot \left( \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} + \left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} + \left(\frac{2}{3}\right)^{-4} \right) > 0$
Левая часть представляет собой формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a = \left(\frac{2}{3}\right)^x$ и $b = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$.
Таким образом, неравенство можно переписать в виде:
$\left( \left(\frac{2}{3}\right)^x \right)^3 - \left( \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \right)^3 > 0$
$\left(\frac{2}{3}\right)^{3x} - \left(\frac{2}{3}\right)^{-6} > 0$
$\left(\frac{2}{3}\right)^{3x} > \left(\frac{2}{3}\right)^{-6}$
Так как основание степени $\frac{2}{3} \in (0, 1)$, показательная функция является убывающей. При сравнении показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$3x < -6$
$x < -2$

Ответ: $x \in (-\infty, -2)$.