Номер 13.36, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.36, страница 84.

13.36. a) $(\frac{1}{3})^{x-1} \ge x^2;$

б) $x^2 + 6x + 9 \ge (0,1)^{x+2}.$

a)Решим неравенство $(\frac{1}{3})^{x-1} \ge x^2$.
Преобразуем левую часть неравенства: $(\frac{1}{3})^{x-1} = (3^{-1})^{x-1} = 3^{-(x-1)} = 3^{1-x}$.
Таким образом, неравенство принимает вид: $3^{1-x} \ge x^2$.
Это трансцендентное неравенство, которое решается анализом свойств функций. Рассмотрим функцию $h(x) = 3^{1-x} - x^2$. Нам необходимо найти все значения $x$, при которых $h(x) \ge 0$.
Сначала найдем корни уравнения $h(x) = 0$, то есть $3^{1-x} = x^2$.
Методом подбора легко заметить, что $x=1$ является корнем, так как $3^{1-1} = 3^0 = 1$ и $1^2 = 1$. Таким образом, $h(1)=0$.
Чтобы определить, есть ли другие корни и как ведет себя функция, исследуем ее на монотонность с помощью производной.
$h'(x) = (3^{1-x} - x^2)' = (3^{1-x})' - (x^2)' = 3^{1-x} \cdot \ln(3) \cdot (1-x)' - 2x = -3^{1-x}\ln(3) - 2x$.
Проанализируем знак производной $h'(x)$:
1. При $x \ge 0$: первое слагаемое $-3^{1-x}\ln(3)$ всегда отрицательно (так как $3^{1-x}>0$ и $\ln(3)>0$). Второе слагаемое $-2x$ является неположительным. Сумма отрицательного и неположительного числа всегда отрицательна (равенство нулю невозможно, так как первое слагаемое не равно нулю). Следовательно, $h'(x) < 0$ при $x \ge 0$.
2. При $x < 0$: пусть $x = -a$, где $a > 0$. Тогда производная примет вид $h'(-a) = -3^{1+a}\ln(3) + 2a$. Чтобы определить знак этого выражения, сравним $2a$ и $3^{1+a}\ln(3)$. Рассмотрим две функции от $a$: $u(a)=3^{1+a}\ln(3)$ и $v(a)=2a$ при $a>0$. При $a \to 0^+$, $u(a) \to 3\ln(3) > 0$ и $v(a) \to 0$. Их производные: $u'(a)=3^{1+a}(\ln 3)^2$ и $v'(a)=2$. Для всех $a>0$, $u'(a) = 3^{1+a}(\ln 3)^2 > 3^1(\ln 3)^2 \approx 3 \cdot (1.1)^2 = 3.63 > 2 = v'(a)$. Так как функция $u(a)$ в начальной точке ($a=0$) больше функции $v(a)$ и растет быстрее нее при всех $a>0$, то $u(a) > v(a)$ для всех $a \ge 0$. Это означает, что $h'(-a) = 2a - 3^{1+a}\ln(3) < 0$.
Из обоих случаев следует, что $h'(x) < 0$ для всех действительных $x$. Это значит, что функция $h(x)$ является строго убывающей на всей числовой оси.
Поскольку функция $h(x)$ строго убывает и обращается в ноль в точке $x=1$, то неравенство $h(x) \ge 0$ выполняется для всех $x$, не превосходящих $1$.
Ответ: $(-\infty; 1]$.

б)Решим неравенство $x^2 + 6x + 9 \ge (0,1)^{x+2}$.
Преобразуем обе части неравенства. Левая часть является полным квадратом: $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$. Правая часть: $(0,1)^{x+2} = (10^{-1})^{x+2} = 10^{-(x+2)}$.
Неравенство принимает вид: $(x+3)^2 \ge 10^{-(x+2)}$.
Рассмотрим функцию $h(x) = (x+3)^2 - 10^{-(x+2)}$. Нам нужно найти значения $x$, при которых $h(x) \ge 0$.
Сначала найдем корни уравнения $h(x) = 0$, то есть $(x+3)^2 = 10^{-(x+2)}$.
Методом подбора находим корень $x=-2$:
Левая часть: $(-2+3)^2 = 1^2 = 1$.
Правая часть: $10^{-(-2+2)} = 10^0 = 1$.
Так как $1=1$, $x=-2$ является корнем уравнения, то есть $h(-2)=0$.
Исследуем функцию $h(x)$ на монотонность с помощью производной.
$h'(x) = ((x+3)^2 - 10^{-(x+2)})' = 2(x+3) - 10^{-(x+2)} \cdot \ln(10) \cdot (-1) = 2(x+3) + 10^{-(x+2)}\ln(10)$.
Проанализируем знак производной $h'(x)$:
Первое слагаемое $2(x+3)$ положительно при $x>-3$, равно нулю при $x=-3$ и отрицательно при $x<-3$.
Второе слагаемое $10^{-(x+2)}\ln(10)$ всегда положительно, так как $10^y > 0$ и $\ln(10) > 0$.
1. При $x \ge -3$: $2(x+3) \ge 0$. Так как второе слагаемое строго положительно, их сумма $h'(x)$ будет строго положительна.
2. При $x < -3$: оба слагаемых могут иметь разные знаки. Исследуем $h'(x)$ подробнее. Найдем ее минимум. Для этого найдем вторую производную: $h''(x) = (2(x+3) + 10^{-(x+2)}\ln(10))' = 2 - 10^{-(x+2)}(\ln 10)^2$. Приравняем к нулю: $10^{-(x+2)} = \frac{2}{(\ln 10)^2}$. Это точка экстремума для $h'(x)$. Значение $h'(x)$ в этой точке будет минимальным. Вычислим его: $x_{min} \approx -1.58$. Это значение не входит в рассматриваемый диапазон $x<-3$.Проверим знак $h'(x)$ для $x<-3$. Докажем, что $2(x+3) + 10^{-(x+2)}\ln(10) > 0$, или $10^{-(x+2)}\ln(10) > -2(x+3)$. Пусть $y = -(x+3)$, где $y>0$. Тогда $x=-y-3$, и $-x-2=y+3-2=y+1$. Неравенство становится $10^{y+1}\ln(10) > 2y$. Функция $f(y) = 10^{y+1}\ln(10)$ растет экспоненциально, а $g(y)=2y$ — линейно. При $y \to 0^+$ (что соответствует $x \to -3^-$), $f(y) \to 10\ln(10)>0$, а $g(y) \to 0$. Так как экспоненциальная функция растет быстрее линейной и вначале больше, то $f(y) > g(y)$ для всех $y>0$. Значит, $h'(x)>0$ и при $x<-3$.
Таким образом, $h'(x) > 0$ для всех действительных $x$. Это означает, что функция $h(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.
Поскольку функция $h(x)$ строго возрастает и обращается в ноль в точке $x=-2$, то неравенство $h(x) \ge 0$ выполняется для всех $x$, не меньших $-2$.
Ответ: $[-2; +\infty)$.