Номер 13.43, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.43, страница 85.

Решите неравенство:

13.43. а) $(x - 6)(5^x - 25) < 0;$

б) $(2x + 1)(3^{3-x} - 9) > 0.$

а) $(x - 6)(5^{x-6} - 25) < 0$

Для решения данного неравенства применим метод рационализации. Этот метод заключается в замене сложного выражения на более простое, имеющее тот же знак на всей области определения.

Знак выражения вида $a^{f(x)} - a^{g(x)}$ при $a>1$ совпадает со знаком выражения $f(x) - g(x)$.

Представим второй множитель в виде $5^{x-6} - 5^2$. Здесь основание $a=5 > 1$, поэтому знак этого множителя совпадает со знаком разности показателей: $x-6-2$, то есть $x-8$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему квадратичному неравенству:

$(x - 6)(x - 8) < 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Корни левой части: $x_1=6$ и $x_2=8$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. Графиком функции $y=(x-6)(x-8)$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, отрицательные значения функция принимает на интервале между корнями.

Решением неравенства является интервал $(6; 8)$.

Ответ: $x \in (6; 8)$.

б) $(2x + 1)(3^{3-x} - 9) > 0$

Воспользуемся методом рационализации. Представим второй множитель в виде $3^{3-x} - 3^2$.

Так как основание $a=3 > 1$, знак выражения $3^{3-x} - 3^2$ совпадает со знаком разности показателей $(3-x) - 2$, что равно $1-x$.

Исходное неравенство равносильно неравенству:

$(2x + 1)(1 - x) > 0$

Решим это квадратичное неравенство методом интервалов. Найдем корни левой части:

1) $2x+1=0 \implies x_1 = -1/2 = -0.5$

2) $1-x=0 \implies x_2 = 1$

Графиком функции $y=(2x+1)(1-x)=-2x^2+x+1$ является парабола с ветвями, направленными вниз. Положительные значения функция принимает на интервале между корнями.

Следовательно, решением является интервал $(-0.5; 1)$.

Ответ: $x \in (-0.5; 1)$.