Номер 13.50, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.50, страница 85.

13.50. Укажите наименьшее натуральное число $x$, при котором число $3 \cdot 2^x$ составляет менее $50\%$ от числа $3^x + 5$.

Согласно условию, число $3 \cdot 2^x$ составляет менее 50% от числа $3^x + 5$. Запишем это в виде математического неравенства:

$3 \cdot 2^x < 0.5 \cdot (3^x + 5)$

Для упрощения решения умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$2 \cdot (3 \cdot 2^x) < 3^x + 5$

$6 \cdot 2^x < 3^x + 5$

Поскольку в задаче требуется найти наименьшее натуральное число $x$, мы можем решить это неравенство методом подбора, последовательно проверяя значения $x$, начиная с 1.

При x = 1:

$6 \cdot 2^1 < 3^1 + 5$

$12 < 3 + 5$

$12 < 8$ (неверно)

При x = 2:

$6 \cdot 2^2 < 3^2 + 5$

$6 \cdot 4 < 9 + 5$

$24 < 14$ (неверно)

При x = 3:

$6 \cdot 2^3 < 3^3 + 5$

$6 \cdot 8 < 27 + 5$

$48 < 32$ (неверно)

При x = 4:

$6 \cdot 2^4 < 3^4 + 5$

$6 \cdot 16 < 81 + 5$

$96 < 86$ (неверно)

При x = 5:

$6 \cdot 2^5 < 3^5 + 5$

$6 \cdot 32 < 243 + 5$

$192 < 248$ (верно)

Мы нашли, что при $x=5$ неравенство впервые выполняется. Поскольку показательная функция $y=3^x$ растет быстрее, чем $y=6 \cdot 2^x$, для всех натуральных чисел $x > 5$ данное неравенство также будет верным. Следовательно, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию, — это 5.

Ответ: 5