Номер 14.3, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.3, страница 85.

14.3. Вычислите:

а) $log_2 2^4$;

б) $log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-7}$;

в) $log_8 8^{-3}$;

г) $log_{0,1} (0,1)^5$.

а) Для вычисления выражения $\log_2 2^4$ используется одно из ключевых свойств логарифма: логарифм числа $b$ в степени $p$ по основанию $a$ равен произведению показателя степени $p$ на логарифм числа $b$ по основанию $a$. Формула выглядит так: $\log_a b^p = p \cdot \log_a b$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$\log_2 2^4 = 4 \cdot \log_2 2$
Далее, воспользуемся еще одним свойством: логарифм числа по основанию, равному самому этому числу, всегда равен единице ($\log_a a = 1$). В нашем случае $\log_2 2 = 1$.
Подставим это значение в наше выражение:
$4 \cdot 1 = 4$
Также можно решить задачу проще, используя следствие из определения логарифма: $\log_a a^x = x$. В этом случае $a=2$ и $x=4$, поэтому результат сразу равен 4.
Ответ: 4

б) В выражении $\log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-7}$ основание логарифма $a = \frac{1}{3}$ совпадает с основанием степени под знаком логарифма. Показатель степени равен -7.
Используя свойство $\log_a a^x = x$, мы можем сразу найти значение выражения.
$\log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-7} = -7$
Для пошагового решения можно вынести показатель степени за знак логарифма:
$\log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-7} = -7 \cdot \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}$
Поскольку $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} = 1$, получаем:
$-7 \cdot 1 = -7$
Ответ: -7

в) Выражение $\log_8 8^{-3}$ имеет ту же структуру, что и предыдущие. Основание логарифма $a=8$ и основание степени под логарифмом совпадают. Показатель степени равен -3.
Применяем свойство $\log_a a^x = x$:
$\log_8 8^{-3} = -3$
Подробное решение с выносом показателя степени:
$\log_8 8^{-3} = -3 \cdot \log_8 8$
Так как $\log_8 8 = 1$, то:
$-3 \cdot 1 = -3$
Ответ: -3

г) В последнем примере $\log_{0,1} (0,1)^5$ мы снова видим, что основание логарифма $a=0,1$ совпадает с основанием степени аргумента. Показатель степени $x=5$.
Используем свойство $\log_a a^x = x$ для нахождения ответа:
$\log_{0,1} (0,1)^5 = 5$
Распишем решение по шагам:
$\log_{0,1} (0,1)^5 = 5 \cdot \log_{0,1} 0,1$
Так как $\log_{0,1} 0,1 = 1$, получаем:
$5 \cdot 1 = 5$
Ответ: 5