Номер 14.6, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.6, страница 86.

14.6. а) $\log_{\sqrt{2}} 1$;

б) $\log_{0,5} \frac{1}{4\sqrt{2}};$

В) $\log_{\sqrt{3}} 81\sqrt{3}$;

г) $\lg \frac{1}{\sqrt[3]{10}}$.

а) Вычислим $ \log_{\sqrt{2}} 1 $.
По определению, логарифм $ \log_a b $ — это показатель степени $c$, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. То есть, $ \log_a b = c $ равносильно $ a^c = b $.
В нашем случае мы ищем такое число $x$, что $ (\sqrt{2})^x = 1 $.
Известно, что любое число (кроме нуля), возведенное в степень 0, равно 1. Таким образом, $x=0$.
Это также следует из общего свойства логарифма: $ \log_a 1 = 0 $ для любого основания $ a > 0, a \neq 1 $.
Ответ: 0

б) Вычислим $ \log_{0,5} \frac{1}{4\sqrt{2}} $.
Пусть $ \log_{0,5} \frac{1}{4\sqrt{2}} = x $. По определению логарифма, это означает, что $ (0,5)^x = \frac{1}{4\sqrt{2}} $.
Для решения этого уравнения представим основание $0,5$ и число под логарифмом $ \frac{1}{4\sqrt{2}} $ в виде степеней одного и того же числа, например, 2.
Основание: $ 0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} $.
Аргумент: $ 4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{1/2} = 2^{2 + 1/2} = 2^{5/2} $.
Следовательно, $ \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{5/2}} = 2^{-5/2} $.
Теперь подставим полученные выражения в наше уравнение: $ (2^{-1})^x = 2^{-5/2} $.
Используя свойство степени $ (a^m)^n = a^{mn} $, получаем: $ 2^{-x} = 2^{-5/2} $.
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $ -x = -\frac{5}{2} $.
Отсюда $ x = \frac{5}{2} $ или $2,5$.
Ответ: $ \frac{5}{2} $

в) Вычислим $ \log_{\sqrt{3}} 81\sqrt{3} $.
Пусть $ \log_{\sqrt{3}} 81\sqrt{3} = x $. По определению логарифма, $ (\sqrt{3})^x = 81\sqrt{3} $.
Представим обе части уравнения в виде степеней числа 3.
Основание: $ \sqrt{3} = 3^{1/2} $.
Аргумент: $ 81\sqrt{3} = 3^4 \cdot 3^{1/2} = 3^{4 + 1/2} = 3^{9/2} $.
Подставим эти значения в уравнение: $ (3^{1/2})^x = 3^{9/2} $.
Упростим левую часть: $ 3^{x/2} = 3^{9/2} $.
Приравниваем показатели степеней: $ \frac{x}{2} = \frac{9}{2} $.
Умножив обе части на 2, получаем $ x = 9 $.
Ответ: 9

г) Вычислим $ \lg \frac{1}{\sqrt[3]{10}} $.
Запись $ \lg $ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $ \lg a = \log_{10} a $.
Таким образом, нам нужно найти $ \log_{10} \frac{1}{\sqrt[3]{10}} $.
Представим аргумент логарифма в виде степени числа 10.
Корень третьей степени из 10 это $ \sqrt[3]{10} = 10^{1/3} $.
Тогда $ \frac{1}{\sqrt[3]{10}} = \frac{1}{10^{1/3}} = 10^{-1/3} $.
Теперь наше выражение имеет вид: $ \log_{10} (10^{-1/3}) $.
По свойству логарифма $ \log_a (a^c) = c $, значение этого выражения равно показателю степени.
$ \log_{10} (10^{-1/3}) = -\frac{1}{3} $.
Ответ: $ -\frac{1}{3} $