Номер 14.11, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.11, страница 86.

14.11. a) $\log_2 \log_5 \frac{10\sqrt{5}}{7\sqrt{5} - \sqrt{125}}$;

б) $\log_6 \log_2 \frac{2^{6.4} \cdot 2^{-0.2}}{(2^{0.1})^2}$.

a) $ \log_{2} \log_{5} \frac{10\sqrt{5}}{7\sqrt{5} - \sqrt{125}} $

Для решения данной задачи начнем с упрощения выражения, находящегося под знаком внутреннего логарифма по основанию 5.

1. Упростим знаменатель дроби $ 7\sqrt{5} - \sqrt{125} $. Для этого представим $ \sqrt{125} $ в виде $ \sqrt{25 \cdot 5} $. Используя свойство корня $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $, получаем $ \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5} $.

2. Теперь знаменатель можно записать как $ 7\sqrt{5} - 5\sqrt{5} $. Вынесем общий множитель $ \sqrt{5} $ за скобки: $ (7-5)\sqrt{5} = 2\sqrt{5} $.

3. Подставим упрощенный знаменатель обратно в дробь: $ \frac{10\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} $.

4. Сократим дробь на $ 2\sqrt{5} $, получим $ \frac{10}{2} = 5 $.

5. Исходное выражение теперь имеет вид: $ \log_{2} \log_{5} 5 $.

6. Вычислим внутренний логарифм $ \log_{5} 5 $. По определению логарифма, это степень, в которую нужно возвести основание 5, чтобы получить 5. Эта степень равна 1. Таким образом, $ \log_{5} 5 = 1 $.

7. Подставим полученное значение в оставшееся выражение: $ \log_{2} 1 $.

8. Логарифм единицы по любому основанию (кроме 1) равен нулю, так как любое число в степени 0 равно 1. Следовательно, $ \log_{2} 1 = 0 $.

Ответ: 0

б) $ \log_{6} \log_{2} \frac{2^{6,4} \cdot 2^{-0,2}}{(2^{0,1})^2} $

Начнем с упрощения дроби, стоящей под знаком внутреннего логарифма по основанию 2, используя свойства степеней.

1. Упростим числитель. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $): $ 2^{6,4} \cdot 2^{-0,2} = 2^{6,4 + (-0,2)} = 2^{6,2} $.

2. Упростим знаменатель. При возведении степени в степень их показатели перемножаются ($ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $): $ (2^{0,1})^2 = 2^{0,1 \cdot 2} = 2^{0,2} $.

3. Теперь дробь имеет вид: $ \frac{2^{6,2}}{2^{0,2}} $.

4. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $): $ 2^{6,2 - 0,2} = 2^6 $.

5. Исходное выражение теперь выглядит так: $ \log_{6} \log_{2} 2^6 $.

6. Вычислим внутренний логарифм $ \log_{2} 2^6 $. Используя основное свойство логарифма $ \log_{a} a^b = b $, получаем, что $ \log_{2} 2^6 = 6 $.

7. Подставим полученное значение в оставшееся выражение: $ \log_{6} 6 $.

8. Логарифм числа, равного основанию, равен единице ($ \log_{a} a = 1 $). Следовательно, $ \log_{6} 6 = 1 $.

Ответ: 1