Номер 14.18, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.18, страница 87.

Решите уравнение:

14.18. а) $ \lg x = 1 $;

в) $ \lg x = -4 $;

б) $ \log_{0.027} x = \frac{2}{3} $;

г) $ \log_{0.25} x = \frac{3}{2} $.

а) Решим уравнение $lg x = 1$.

По определению десятичного логарифма, $lg x$ - это логарифм по основанию 10, то есть $log_{10} x$. Таким образом, уравнение можно переписать в виде $log_{10} x = 1$.

Основное определение логарифма гласит, что если $log_b a = c$, то это эквивалентно равенству $a = b^c$. В данном случае основание $b=10$, $a=x$, а $c=1$.

Применяя это определение к нашему уравнению, получаем:

$x = 10^1$

$x = 10$

Область определения логарифма требует, чтобы аргумент был строго положительным, то есть $x > 0$. Наше решение $x=10$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: 10

б) Решим уравнение $log_{0,027} x = \frac{2}{3}$.

Используем основное определение логарифма: $log_b a = c \iff a = b^c$.

В нашем случае $b = 0,027$, $a = x$, $c = \frac{2}{3}$. Следовательно, мы можем записать:

$x = 0,027^{\frac{2}{3}}$

Для вычисления этого значения, преобразуем десятичную дробь 0,027 в обыкновенную, а затем в степень:

$0,027 = \frac{27}{1000} = \frac{3^3}{10^3} = (\frac{3}{10})^3 = 0,3^3$

Теперь подставим это выражение обратно в уравнение для $x$:

$x = (0,3^3)^{\frac{2}{3}}$

Воспользуемся свойством степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$x = 0,3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 0,3^2$

$x = 0,09$

Проверяем, что $x > 0$. $0,09 > 0$, решение корректно.

Ответ: 0,09

в) Решим уравнение $lg x = -4$.

Как и в пункте а), $lg x$ - это $log_{10} x$. Уравнение принимает вид $log_{10} x = -4$.

Применяя определение логарифма ($log_b a = c \iff a = b^c$), получаем:

$x = 10^{-4}$

Вычисляем значение $x$, используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$x = \frac{1}{10^4} = \frac{1}{10000} = 0,0001$

Условие $x > 0$ выполнено, так как $0,0001 > 0$.

Ответ: 0,0001

г) Решим уравнение $log_{0,25} x = \frac{3}{2}$.

Используем определение логарифма $log_b a = c \iff a = b^c$.

В данном случае $b = 0,25$, $a = x$, $c = \frac{3}{2}$. Получаем:

$x = 0,25^{\frac{3}{2}}$

Преобразуем основание 0,25 в обыкновенную дробь:

$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

Подставим это значение в выражение для $x$:

$x = (\frac{1}{4})^{\frac{3}{2}}$

Дробная степень $a^{\frac{m}{n}}$ может быть вычислена как $(\sqrt[n]{a})^m$. В нашем случае $a = \frac{1}{4}$, $m=3$, $n=2$.

$x = (\sqrt{\frac{1}{4}})^3 = (\frac{1}{2})^3$

$x = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$

Переведем ответ в десятичную дробь:

$x = 0,125$

Проверяем, что $x > 0$. $0,125 > 0$, решение корректно.

Ответ: 0,125