Номер 14.13, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.13, страница 87.

14.13. a) $2^3 + \log_2 9$;

б) $7^1 + \log_7 4$;

В) $\left(\frac{1}{6}\right)^{2 + \log_{\frac{1}{6}} 20}$;

Г) $\left(\sqrt{7}\right)^{4 + \log_{\sqrt{7}} 0.5}$.

а) Для вычисления выражения $2^{3 + \log_2 9}$ воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
$2^{3 + \log_2 9} = 2^3 \cdot 2^{\log_2 9}$.
Первый множитель $2^3 = 8$.
Второй множитель $2^{\log_2 9}$ вычисляется с помощью основного логарифмического тождества $a^{\log_a b} = b$.
Следовательно, $2^{\log_2 9} = 9$.
Перемножим полученные результаты: $8 \cdot 9 = 72$.
Ответ: 72.

б) Для вычисления выражения $7^{1 + \log_7 4}$ воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
$7^{1 + \log_7 4} = 7^1 \cdot 7^{\log_7 4}$.
Первый множитель $7^1 = 7$.
Второй множитель $7^{\log_7 4}$ вычисляется с помощью основного логарифмического тождества $a^{\log_a b} = b$.
Следовательно, $7^{\log_7 4} = 4$.
Перемножим полученные результаты: $7 \cdot 4 = 28$.
Ответ: 28.

в) Для вычисления выражения $(\frac{1}{6})^{2 + \log_{\frac{1}{6}} 20}$ воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
$(\frac{1}{6})^{2 + \log_{\frac{1}{6}} 20} = (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}} 20}$.
Первый множитель $(\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36}$.
Второй множитель $(\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}} 20}$ вычисляется с помощью основного логарифмического тождества $a^{\log_a b} = b$.
Следовательно, $(\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}} 20} = 20$.
Перемножим полученные результаты: $\frac{1}{36} \cdot 20 = \frac{20}{36}$.
Сократим дробь на 4: $\frac{20 \div 4}{36 \div 4} = \frac{5}{9}$.
Ответ: $\frac{5}{9}$.

г) Для вычисления выражения $(\sqrt{7})^{4 + \log_{\sqrt{7}} 0.5}$ воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
$(\sqrt{7})^{4 + \log_{\sqrt{7}} 0.5} = (\sqrt{7})^4 \cdot (\sqrt{7})^{\log_{\sqrt{7}} 0.5}$.
Первый множитель $(\sqrt{7})^4 = (7^{1/2})^4 = 7^{(1/2) \cdot 4} = 7^2 = 49$.
Второй множитель $(\sqrt{7})^{\log_{\sqrt{7}} 0.5}$ вычисляется с помощью основного логарифмического тождества $a^{\log_a b} = b$.
Следовательно, $(\sqrt{7})^{\log_{\sqrt{7}} 0.5} = 0.5$.
Перемножим полученные результаты: $49 \cdot 0.5 = 24.5$.
Ответ: 24.5.