Номер 14.16, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.16, страница 87.

14.16. a) $4 \cdot 125^{1 - \log_{125} 8};$

б) $3 \cdot 4^{3 - \log_4 24};$

в) $7 \cdot 0.5^{2 - \log_{0.5} 35};$

г) $100 \cdot 0.3^{3 - \log_{0.3} 27}.$

а)

Для решения данного выражения воспользуемся свойствами степеней и логарифмов.

Исходное выражение: $4 \cdot 125^{1 - \log_{125} 8}$.

Применим свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$4 \cdot 125^{1 - \log_{125} 8} = 4 \cdot \frac{125^1}{125^{\log_{125} 8}}$

Теперь воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$:

$125^{\log_{125} 8} = 8$

Подставим это значение обратно в выражение:

$4 \cdot \frac{125}{8}$

Выполним вычисление:

$\frac{4 \cdot 125}{8} = \frac{500}{8} = \frac{125}{2} = 62.5$

Ответ: 62.5

б)

Решим выражение $3 \cdot 4^{3 - \log_4 24}$, используя те же свойства.

Применим свойство разности в показателе степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$3 \cdot 4^{3 - \log_4 24} = 3 \cdot \frac{4^3}{4^{\log_4 24}}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ имеем:

$4^{\log_4 24} = 24$

Подставим это значение и вычислим $4^3$:

$4^3 = 64$

Получаем выражение:

$3 \cdot \frac{64}{24}$

Сократим дробь и найдем результат:

$\frac{3 \cdot 64}{24} = \frac{192}{24} = 8$

Ответ: 8

в)

Рассмотрим выражение $7 \cdot 0.5^{2 - \log_{0.5} 35}$.

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$7 \cdot 0.5^{2 - \log_{0.5} 35} = 7 \cdot \frac{0.5^2}{0.5^{\log_{0.5} 35}}$

Применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$0.5^{\log_{0.5} 35} = 35$

Подставим это значение и вычислим $0.5^2$:

$0.5^2 = 0.25$

Получаем:

$7 \cdot \frac{0.25}{35}$

Произведем вычисления:

$\frac{7 \cdot 0.25}{35} = \frac{1.75}{35} = \frac{175}{3500} = \frac{1}{20} = 0.05$

Ответ: 0.05

г)

Решим последнее выражение $100 \cdot 0.3^{3 - \log_{0.3} 27}$.

По свойству степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$100 \cdot 0.3^{3 - \log_{0.3} 27} = 100 \cdot \frac{0.3^3}{0.3^{\log_{0.3} 27}}$

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$0.3^{\log_{0.3} 27} = 27$

Вычислим $0.3^3$:

$0.3^3 = 0.027$

Подставим полученные значения в выражение:

$100 \cdot \frac{0.027}{27}$

Выполним вычисление:

$\frac{100 \cdot 0.027}{27} = \frac{2.7}{27} = 0.1$

Ответ: 0.1