Номер 14.20, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.20, страница 87.

14.20. a) $\log_x 4 = 2$;

б) $\log_x \frac{1}{27} = -3$;

в) $\log_x 125 = 3$;

г) $\log_x \frac{1}{16} = -4$.

а)

Для решения уравнения $ \log_x 4 = 2 $ воспользуемся определением логарифма: $ \log_b a = c $ эквивалентно $ b^c = a $.
В данном уравнении основание $ b = x $, число под логарифмом $ a = 4 $, и значение логарифма $ c = 2 $.
Применив определение, получим степенное уравнение:
$ x^2 = 4 $
Решениями этого уравнения являются $ x = \sqrt{4} $ и $ x = -\sqrt{4} $, то есть $ x = 2 $ и $ x = -2 $.
Согласно области определения логарифма, его основание $ x $ должно быть положительным и не равным единице ($ x > 0 $, $ x \neq 1 $).
Корень $ x = -2 $ не удовлетворяет условию $ x > 0 $, поэтому он является посторонним. Корень $ x = 2 $ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $ 2 $

б)

Рассмотрим уравнение $ \log_x \frac{1}{27} = -3 $.
По определению логарифма, это уравнение можно переписать в виде:
$ x^{-3} = \frac{1}{27} $
Используя свойство степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, преобразуем левую часть:
$ \frac{1}{x^3} = \frac{1}{27} $
Из этого равенства следует, что $ x^3 = 27 $.
Находим $ x $, извлекая кубический корень из 27:
$ x = \sqrt[3]{27} = 3 $
Проверяем, соответствует ли найденный корень ограничениям на основание логарифма: $ x = 3 > 0 $ и $ x = 3 \neq 1 $. Условия выполняются.

Ответ: $ 3 $

в)

Решим уравнение $ \log_x 125 = 3 $.
Используя определение логарифма ($ \log_b a = c \iff b^c = a $), переходим к степенному уравнению:
$ x^3 = 125 $
Чтобы найти $ x $, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:
$ x = \sqrt[3]{125} $
Поскольку $ 5^3 = 125 $, то $ x = 5 $.
Найденное значение $ x=5 $ удовлетворяет условиям для основания логарифма ($ x > 0 $ и $ x \neq 1 $).

Ответ: $ 5 $

г)

Рассмотрим уравнение $ \log_x \frac{1}{16} = -4 $.
По определению логарифма, это уравнение эквивалентно следующему:
$ x^{-4} = \frac{1}{16} $
Преобразуем левую часть, используя свойство $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $:
$ \frac{1}{x^4} = \frac{1}{16} $
Отсюда следует, что $ x^4 = 16 $.
Решая это уравнение, получаем $ x = \pm\sqrt[4]{16} $, то есть $ x = 2 $ или $ x = -2 $.
Основание логарифма $ x $ должно быть положительным и не равным единице ($ x > 0 $, $ x \neq 1 $).
Корень $ x = -2 $ не удовлетворяет этому требованию. Подходит только корень $ x = 2 $.

Ответ: $ 2 $