Номер 14.19, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.19, страница 87.

14.19. a) $log_4 x = -\frac{1}{2};$

б) $log_{0.125} x = -\frac{2}{3};$

в) $log_{32} x = -\frac{4}{5};$

г) $log_{0.01} x = -\frac{3}{2}.$

а)

Для решения уравнения $ \log_{4} x = -\frac{1}{2} $ воспользуемся определением логарифма: $ \log_{a} b = c $ эквивалентно $ a^c = b $.

Применяя это определение, получаем: $ x = 4^{-\frac{1}{2}} $

Степень с отрицательным показателем можно записать как $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, а степень с дробным показателем как $ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} $.

Следовательно: $ x = \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} $

Ответ: $\frac{1}{2}$

б)

Для решения уравнения $ \log_{0,125} x = -\frac{2}{3} $ воспользуемся определением логарифма: $ x = 0,125^{-\frac{2}{3}} $

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $ 0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} $.

Теперь уравнение выглядит так: $ x = \left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}} $

Используя свойство $ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} $, получаем: $ x = 8^{\frac{2}{3}} $

Используя свойство $ a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m $, вычисляем значение: $ x = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 $

Ответ: 4

в)

Для решения уравнения $ \log_{32} x = -\frac{4}{5} $ воспользуемся определением логарифма: $ x = 32^{-\frac{4}{5}} $

Используем свойство степени с отрицательным показателем: $ x = \frac{1}{32^{\frac{4}{5}}} $

Для вычисления знаменателя можно представить 32 как степень числа 2 ($ 32 = 2^5 $) или использовать свойство $ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} $.

$ 32^{\frac{4}{5}} = (\sqrt[5]{32})^4 = 2^4 = 16 $

Следовательно: $ x = \frac{1}{16} $

Ответ: $\frac{1}{16}$

г)

Для решения уравнения $ \log_{0,01} x = -\frac{3}{2} $ воспользуемся определением логарифма: $ x = 0,01^{-\frac{3}{2}} $

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $ 0,01 = \frac{1}{100} $.

$ x = \left(\frac{1}{100}\right)^{-\frac{3}{2}} $

Применяя свойство степени с отрицательным показателем, получаем: $ x = 100^{\frac{3}{2}} $

Вычисляем значение: $ x = (\sqrt{100})^3 = 10^3 = 1000 $

Ответ: 1000