Номер 14.21, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.21, страница 87.

14.21. a) $\log_x 3 = \frac{1}{2}$;

б) $\log_x 4 = -\frac{1}{2}$;

в) $\log_x 7 = \frac{1}{3}$;

г) $\log_x 8 = -\frac{1}{3}$.

а) Исходное уравнение: $\log_x 3 = \frac{1}{2}$.
По определению логарифма, уравнение $\log_a b = c$ равносильно степенному уравнению $a^c = b$. При этом основание логарифма должно быть положительным и не равным единице ($a > 0, a \neq 1$).
Применяя это определение к нашему уравнению, получаем: $x^{\frac{1}{2}} = 3$.
Выражение $x^{\frac{1}{2}}$ — это то же самое, что и $\sqrt{x}$. Таким образом, имеем уравнение: $\sqrt{x} = 3$.
Чтобы найти $x$, возводим обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = 3^2$
$x = 9$.
Проверяем, удовлетворяет ли найденное значение условиям для основания логарифма: $x=9 > 0$ и $x=9 \neq 1$. Условия выполнены.
Ответ: 9

б) Исходное уравнение: $\log_x 4 = -\frac{1}{2}$.
По определению логарифма, данное уравнение равносильно уравнению: $x^{-\frac{1}{2}} = 4$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), перепишем уравнение: $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 4$, что эквивалентно $\frac{1}{\sqrt{x}} = 4$.
Отсюда находим $\sqrt{x}$: $\sqrt{x} = \frac{1}{4}$.
Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{4})^2$
$x = \frac{1}{16}$.
Проверяем условия для основания логарифма: $x=\frac{1}{16} > 0$ и $x=\frac{1}{16} \neq 1$. Условия выполнены.
Ответ: $\frac{1}{16}$

в) Исходное уравнение: $\log_x 7 = \frac{1}{3}$.
По определению логарифма, данное уравнение равносильно уравнению: $x^{\frac{1}{3}} = 7$.
Выражение $x^{\frac{1}{3}}$ — это кубический корень из $x$, то есть $\sqrt[3]{x}$. Получаем: $\sqrt[3]{x} = 7$.
Чтобы найти $x$, возводим обе части уравнения в куб: $(\sqrt[3]{x})^3 = 7^3$
$x = 343$.
Проверяем условия для основания логарифма: $x=343 > 0$ и $x=343 \neq 1$. Условия выполнены.
Ответ: 343

г) Исходное уравнение: $\log_x 8 = -\frac{1}{3}$.
По определению логарифма, данное уравнение равносильно уравнению: $x^{-\frac{1}{3}} = 8$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем, перепишем уравнение: $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} = 8$, что эквивалентно $\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = 8$.
Отсюда находим $\sqrt[3]{x}$: $\sqrt[3]{x} = \frac{1}{8}$.
Возводим обе части в куб: $(\sqrt[3]{x})^3 = (\frac{1}{8})^3$
$x = \frac{1^3}{8^3} = \frac{1}{512}$.
Проверяем условия для основания логарифма: $x=\frac{1}{512} > 0$ и $x=\frac{1}{512} \neq 1$. Условия выполнены.
Ответ: $\frac{1}{512}$